Question

已知：抛物线y=-x²+px+q交x轴于点A、B，交y轴于点C，又∠ACB=90°，tan∠CAO-tan∠CBO=2．
（1）求抛物线的解析式．
（2）设平行于x轴的直线交抛物线于点M、N，是否存在以MN为直径且与x轴相切的圆？如果不存在，说明理由；如果存在，求出圆的半径．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求抛物线的解析式，即求p、q的值，一方面，p、q与方程x²-px-q=0的两根有联系，另一方面q等于线段OC的长，而OC²=|OA|•|OB|，且|OA|、|OB|又是方程x²-px-q=0的两根的绝对值，这就使p与q能建立联系，从中求出p、q；
（2）本例是存在型问题，如果存在满足题设条件的圆，从图形直观看出；圆心必定在抛物线的对称轴上，且半径是圆心的纵坐标的绝对值．
解答：解：（1）设A、B两点的横坐标分别为x₁，x₂，则x₁，x₂是方程x²-px-q=0的两个根，且x₁＜0＜x₂，x₁+x₂=p，x₁x₂=-q＜0
∵在Rt△ABC中，OC为斜边AB上的高，
∴OC²=|OA|•|OB|=|x₁x₂|=q，
又∵OC²=q²，
∴q²=q，
因为抛物线不经过原点，∴q≠0，故q=1
由三角函数的定义和x₁＜0＜x₂，易得：
tan∠CAO=tan∠CBO=
由题设，得，
则x₁+x₂=-2x₁x₂，
∵x₁+x₂=p，x₁x₂=-q=-1，
∴p=2，
故抛物线得解析式为：y=-x²+2x+1；

（2）设点M、N的坐标为（x₃，r），（x₄，r），则x₃，x₄是方程r=-x²+2x+1，即-x²+2x+1-r=0的两个根．
∴x₃+x₄=2，x₃x₄=r-1，
∴，
∵圆与x轴相切（假设圆存在），
∴，即，
解方程得：r₁=1或r₂=-2，
∴所求圆的半径为1或2．
点评：此题主要考查了代数、三角、几何的综合题，涉及二次函数、方程、三角函数和Rt△等多方面的知识．