Question

如图，已知，以为直径，为圆心的半圆交于点，点为弧CF的中点，连接交于点，为△ABC的角平分线，且，垂足为点.
【小题1】求证：是半圆的切线；
【小题2】若，，求的长.

Answer 1

【小题1】证明：连接EC，
∵AD⊥BE于H，∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4∴∠4＝∠5＝∠3，
又∵E为弧CF中点，∴∠6＝∠7，
∵BC是直径，∴∠E＝90°，∴∠5＋∠6＝90°，
又∵∠AHM＝∠E＝90°，∴AD∥CE，
∴∠2＝∠6＝∠1，∴∠3＋∠7＝90°，                 
又∵BC是直径，∴AB是半圆O的切线； （5分）
【小题2】解析:
解答：
（2）∵，。
由（1）知，，∴.
在中，于，平分，
∴，∴.    （7分）
由∽，得.
∴，
∴