Question

17．对于两个已知图形G₁、G₂，在G₁上任取一点P，在G₂上任取一点Q，当线段PQ的长度最小时，我们称这个最小长度为G₁、G₂的“密距”．例如，如上图，A（-2，3），B（1，3），C（1，0），则点A与射线OC之间的“密距”为$\sqrt{13}$，点B与射线OC之间的“密距”为3．如果直线y=x-1和双曲线y=$\frac{k}{x}$之间的“密距”为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，则k值为（　　）

• A． k=4
• B． k=-4
• C． k=6
• D． k=-6

Answer 1

分析 由题意设双曲线上的D到直线的距离最近，过D作直线l和直线y=x-1的平行线，结合条件可求得l的解析式，联立l与双曲线解析式，则该方程组只有一组解，可求得k的值．

解答 解：
根据“密距”的定义可知双曲线图象在二、四象限，且离第四象限最近，
设双曲线上点D到直线y=x-1距离最近，如图，设直线y=x-1与y轴交于点E，过D作直线y=x-1的平行线，交y轴于点G，过D作直线y=x-1的垂线，垂足为E，过E作EH⊥DG，垂足为H，

则由题意可知DF=EH=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
又∠OEF=45°，
∴∠EGH=45°，
∴EH=HG=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴EG=$\sqrt{2}$EH=$\sqrt{2}$×$\frac{3\sqrt{2}}{2}$=3，
又OE=1，
∴OG=4，
∴直线DG的解析式为y=x-4，
联立直线DG和双曲线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{k}{x}}\\{y=x-4}\end{array}\right.$，消去y整理可得x²-4x-k=0，
∵直线DG与双曲线只有一个交点，
∴方程x²-4x-k=0有两个相等的实数根，
∴△=0，即（-4）²+4k=0，解得k=-4，
故选B．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据所给定义结合图形求得与双曲线只有一个交点的直线解析式是解题的关键．