Question

如图：在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A的坐标为（4，8），D是OC上一点，且CD：OD=3：5，连接AD，过D点作DE⊥AD交OB于E，过E作EF∥AD，交AB于F
（1）求经过A、D两点的直线解析式；
（2）求EF的长；
（3）在DE所在的直线上是否存在一点P，使AP⊥PE？若存在，则这样的点P有几个？并说明理由；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据A点的坐标是（4，8），则CD=AB=8，再根据CD：OD=3：5，即可求得OD的长．得到D的坐标，利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）易证△ACD∽△EBF，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．
（3）根据已知条件知点P与点D重合，所以符合条件的点P只有一个．

解答：解：（1）∵A点的坐标是（4，8），
∴CD=AB=8
又∵CD：OD=3：5，
∴OD=5，即D得坐标是（0，5）
设经过A、D两点的直线解析式是y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）．
根据题意得：

b=5 8=4k+b

，
解得

b=5 k= 3 4

．
所以经过A、D两点的直线解析式为：y=

3

4

x+5；

（2）∵∠ACD=90°，∠ADE=90°，
∴∠CAD+∠ADC=∠ADC+∠ODE=90°，
∴∠CAD=∠ODE．
又∵∠ACD=∠DOE=90°，
∴△ACD∽△DOE，
∴

CD

OE

=

AC

OD

，
∵AC=4，CD=3，OD=5，
∴OE=

CD•OD

AC

=

3×5

4

=

15

4

∴BE=OB-OE=4-

15

4

=

1

4

．
同理△ACD∽△EBF
∴

AD

EF

=

AC

EB

，
在直角三角形ACD中，由勾股定理知AD=5，
∴EF=

AD•EB

AC

=

5× 1 4

4

=

5

16

，即EF=

5

16

；

（3）存在．满足题设的点P有1个．理由如下：
∵点P在直线DE上，AP⊥DE，且AD⊥DE，
∴点P与点D重合，
∴满足题设条件的点P只有1个．

点评：本题主要考查了一次函数综合题．涉及到的知识点有：相似三角形的判定与性质，勾股定理，待定系数法求一次函数的解析式等．解答（3）题时，需要知道”在同一平面内，过直线外一点作已知直线的垂线有且只有一条“．