Question

已知：如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F．求证：
（1）FD²=FB•FC；
（2）AB²：AC²=BF：CF．

Answer 1

证明：（1）连结AF，
∵AD的垂直平分线交AD于E，
∴AF=DF，
∴∠1+∠2=∠4，
∵∠B+∠3=∠4，
∠2=∠3，
∴∠B=∠1，
∵∠AFB=∠CFA，
∴△ACF∽△BAF，
∴=，
∴AF²=FB•FC，
即FD²=FB•FC．

（2）∵△ACF∽△BAF，
∴=，=，
即=．
分析：（1）利用垂直平分线的性质得出AF=DF，进而利用外角的性质得出∠B=∠1，即可得出△ACF∽△BAF，即可得出答案；
（2）利用（1）中所求由相似三角形的性质得出即可．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出∠B=∠1是解题关键．