Question

【题目】如图，在中，，为线段的延长线上一点，且，于点，取的中点，连接.

（1）求证：；

（2）若，求证：；

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理证明∠D=∠BAC,然后根据直角三角形两锐角互余即可证明；

（2））如图，延长AF至M点，使AF=MF，连接BM，首先证明△AEF≌△MBF，可得AE=MB,再证明△ABM≌△ACD，可得MB=CD,由此即可证明．

（1）证明：∵

∴∠ABC=∠ACB,∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-2∠ABC，

∵

∴∠ABC=∠BAD，∠D=180°-∠ABC-∠BAD=180°-2∠ABC，

∴∠BAC=∠D，

∵，

∴

∴；

（2）证明：如图，延长AF至M点，使AF=MF，连接BM，

在△AEF和△MBF中

∵

∴△AEF≌△MBF(SAS)，

∴AE=BM，∠DAF=∠FMB，

∵∠BAC=∠D，

∴∠1=∠2，∠FMB=∠D，

在△ABM和△ACD中

∵

∴△ABM≌△ACD(AAS)，

∴BM=CD,

∴AE=CD．