题目内容

已知：如图，△ABC中，点D、E、F分别在边BC、CA、AB上， $数学公式$ = $数学公式$ = $数学公式$ ：
（1）若BE平分∠ABC，试说明四边形DBFE的形状，并加以证明；
（2）若点G为△ABC的重心，且△BCG与△EFG的面积之和为20，求△BCG的面积．

解：（1）四边形DBFE是菱形．
证明：∵△ABC中， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴FE∥BC，DE∥AB，
∴四边形DBFE是平行四边形，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠FBE=∠DBE，
∵FE∥BC，
∴∠FEB=∠DBE，
∴∠FBE=∠FEB，
∴BF=EF，
∴四边形DBFE是菱形；

（2）∵FE∥BC，
∴△EFG∽△BCG，
∴ $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ）²，
∵点G为△ABC的重心，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ ，
∴S_△BCG=4S_△EFG．
∵S_△EFG+S_△BCG=20，
∴S_△BCG=16．
分析：（1）由△ABC中， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，可得FE∥BC，DE∥AB，即可判定四边形DBFE是平行四边形，又由BE平分∠ABC，可证得BF=EF，即可判定四边形DBFE是菱形；
（2）由FE∥BC，可得△EFG∽△BCG，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得 $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ）²，然后由点G为△ABC的重心，可得FG：GC=1：2，可得S_△BCG=4S_△EFG．又由△BCG与△EFG的面积之和为20，即可求得答案．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、三角形重心的性质以及菱形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．