Question

如图，PA为⊙0的切线，A为切点，过A作O的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B．
求证：PB为⊙0的切线．

Answer 1

考点：切线的判定与性质

专题：证明题

分析：连接OA，OB，由AB与OP垂直，利用垂径定理得到C为AB的中点，得到AC=BC，再由OB=OA，利用HL得到两直角三角形全等，利用全等三角形的对应角相等得到一对角相等，再由OB=OA，OP为公共边，利用SAS得到三角形BOP与三角形AOP全等，由全等三角形的对应角相等得到∠OAP=∠OBP，由PA与圆O相切，利用切线的性质得到∠OAP为直角，可得出∠OBP为直角，即OB垂直于BP，进而确定出BP为圆O的切线．

解答：证明：连接OA，OB，
∵AB⊥OP，
∴C为AB的中点，即AC=BC=

1

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AB，
∵在Rt△OBC和Rt△OAC中，

OB=OA BC=AC

，
∴Rt△OBC≌Rt△OAC（HL），
∴∠BOC=∠AOC，
∵在△OBP和△OAP中，

OB=OA ∠BOC=∠AOC OP=OP

，
∴△OBP≌△OAP（SAS），
∴∠OAP=∠OBP，
∵AP为圆O的切线，
∴∠OAP=90°，
∴∠OBP=90°，即OB⊥BP，
则BP为圆O的切线．

点评：此题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及垂径定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．