题目内容
如图，在△ABC中，AB=BC=2，高BE=
，在BC边的延长线上取一点D，使CD=3．
（1）现有一动点P由A沿AB移动，设AP=t，S△PCD=S，求S与t之间的关系式及自变量t的取值范围．
（2）在（1）的条件下，当t=
时，过点C作CH⊥PD于H，设K=7CH：9PD．求证：关于x的二次函数y=-x2-(10k-
)x+2k的图象与x轴的两个交点关于原点对称．
（3）在（1）的条件下，是否存在正实数t，使PD边上的高CH=
CD？如果存在，请求出t的值；如果
不存在，请说明理由．
| 3 |
（1）现有一动点P由A沿AB移动，设AP=t，S△PCD=S，求S与t之间的关系式及自变量t的取值范围．
（2）在（1）的条件下，当t=
| 1 |
| 3 |
| 3 |
（3）在（1）的条件下，是否存在正实数t，使PD边上的高CH=
| 1 |
| 2 |
不存在，请说明理由．（1）过点P作PF⊥BD于点F．
∵AB=BC=2，高BE=
，
∴由锐角三角函数，得∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠BPF=30°．
∵AP=t，
∴PB=2-t，
∴PF=
（2-t），
∴S=
×3×
（2-t），
=-
t+
（0≤t≤2）；
（2）证明：∵t=
，
∴PB=2-
=
，
∴PB=
，PF=
，CF=
，
∴DF=3+
=
，
在Rt△PFD中由勾股定理得
DP=
，
=
，
在△PCD中
×
×3=
×
CH，
解得CH=
，
K=
=
，
∴y=-x2-(10×
-
)x+2×
，
y=-x2+
，
当y=0时，解得x=±
，
∴抛物线与x轴的两个交点坐标分别为：(
，0)或(-
，0)，
∴原二次函数的图象与x轴的交点关于原点对称；
（3）不存在正实数P．
∵CH⊥DP，且CH=
CD
∴∠D=30°
∴DP=2PF=（2-t）
，DF=2-
+3=
由勾股定理得
[(2-t)
]2=(
)2+(
)2
解得t1=7不符合题意应舍去．
t2=-
不符合题意应舍去．
∴当CH=1.5时，求出的t的值不满足题意要求．
∵AB=BC=2，高BE=
| 3 |
∴由锐角三角函数，得∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠BPF=30°．
∵AP=t，
∴PB=2-t，
∴PF=
| ||
| 2 |
∴S=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
=-
3
| ||
| 4 |
3
| ||
| 2 |
（2）证明：∵t=
| 1 |
| 3 |
∴PB=2-
| 1 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
∴PB=
| 5 |
| 6 |
5
| ||
| 6 |
| 7 |
| 6 |
∴DF=3+
| 7 |
| 6 |
| 25 |
| 6 |
在Rt△PFD中由勾股定理得
DP=
(
|
=
10
| ||
| 6 |
在△PCD中
| 1 |
| 2 |
5
| ||
| 6 |
| 1 |
| 2 |
10
| ||
| 6 |
解得CH=
3
| ||
| 14 |
K=
| ||||
|
| ||
| 10 |
∴y=-x2-(10×
| ||
| 10 |
| 3 |
| ||
| 10 |
y=-x2+
| ||
| 5 |
当y=0时，解得x=±
| ||||
| 5 |
∴抛物线与x轴的两个交点坐标分别为：(
| ||||
| 5 |
| ||||
| 5 |
∴原二次函数的图象与x轴的交点关于原点对称；
（3）不存在正实数P．
∵CH⊥DP，且CH=
| 1 |
| 2 |
∴∠D=30°
∴DP=2PF=（2-t）
| 3 |
| 2-t |
| 2 |
| t+8 |
| 2 |
由勾股定理得
[(2-t)
| 3 |
| t+8 |
| 2 |
(2-t)
| ||
| 2 |
解得t1=7不符合题意应舍去．
t2=-
| 1 |
| 2 |
∴当CH=1.5时，求出的t的值不满足题意要求．
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