Question

如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．
（1）求证：CE=CF；
（2）若G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
（3）在（1）（2）条件下，若AB=BC=12，BE=4，求DE的长．

Answer 1

分析：（1）由正方形的性质可以得出BC=CD，∠B=∠ADC=90°，通过证明△CBE≌△CDF就可以得出结论；
（2）由条件可以得出∠BCE+∠DCG=45°，就可以得出∠DCG+∠DCF=45°，就有∠ECG=∠FCG=45°，通过证明△GCE≌△GCF就可以得出GE=GF，进而得出结论；
（3）连接DE，在R△AED中，由勾股定理就可以得出DE的值．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠B=∠ADC=∠BCD=90°．
∴∠CDF=∠B=90°．
在△CBE和△CDF中

BE=DF ∠B=∠CDF BC=DC

，
∴△CBE≌△CDF，
∴CE=CF；

（2）∵△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF．
∵∠GCE=45°，
∴∠BCE+∠DCG=45°，
∴∠DCG+∠DCF=45°
∴∠ECG=∠FCG．
在GCE和△GCF中

GC=GC ∠ECG=∠FCG CE=CF

，
∴GCE≌△GCF，
∴GE=GF．
∵GF=GD+DF，
∴GF=GD+BE，
∴GE=BE+GD；

（3）连接DE，
∵AB=BC=12，BE=4，
∴AE=8．
在Rt△ADE中，由勾股定理，得
DE=4

13

．
答：DE的长为4

13

．

点评：本题考查了正方形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．