题目内容
（2010•江干区模拟）如图，已知Rt△ABC，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连接BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连接BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点D4，D5，…，Dn，分别记△BD1E1，△BD2E2，△BD3E3，…，△BDnEn的面积为S1，S2，S3，…Sn．则（ ）
A．Sn=
S△ABCB．Sn=
S△ABCC．Sn=
S△ABCD．Sn=
S△ABC
【答案】分析：首先证明
构成等差数列，而
=2，故
=2+1•（n-1）=n+1，则可以得到△ABC与△BDnEn面积之间的关系，从而求解．
解答：
解：∵S△BDnEn=
S△CDnEn•CEn，
∴DnEn=D1E1•CEn•
，而D1E1=
BC，CE1=
AC，
∴S△BDnEn=
•
BC•
•CEn=
•CEn=
BC•AC[
]2
=S△ABC•[
]2，
延长CD1至F使得D1F=CD1，
∴四边形ACBF为矩形．
∴
=
=
=
，
对于
=
，
两边均取倒数，
∴
=1+
，
即是
-
=1，
∴
构成等差数列．
而
=2，
故
=2+1•（n-1）=n+1，
∴S△BDnEn=S△ABC•[
]2，
则Sn=
S△ABC．
故选D．
点评：本题主要考查了三角形面积的计算，正确证明
构成等差数列是解题关键．
构成等差数列，而
=2，故
=2+1•（n-1）=n+1，则可以得到△ABC与△BDnEn面积之间的关系，从而求解．解答：
解：∵S△BDnEn=
S△CDnEn•CEn，∴DnEn=D1E1•CEn•
，而D1E1=
BC，CE1=
AC，∴S△BDnEn=
•
BC•
•CEn=
•CEn=
BC•AC[
]2=S△ABC•[
]2，延长CD1至F使得D1F=CD1，
∴四边形ACBF为矩形．
∴
=
=
=
，对于
=
，两边均取倒数，
∴
=1+
，即是
-
=1，∴
构成等差数列．而
=2，故
=2+1•（n-1）=n+1，∴S△BDnEn=S△ABC•[
]2，则Sn=
S△ABC．故选D．
点评：本题主要考查了三角形面积的计算，正确证明
构成等差数列是解题关键． 
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