题目内容

已知：0＜a＜b＜c，实数x、y满足2x+2y=a+b+c，2xy=ac，且x＜y．求证：0＜x＜a，b＜y＜c．

证明：∵2x+2y=a+b+c，2xy=ac，
∴x+y= $\text{[math]}$ ，xy= $\text{[math]}$ ，
∴x，y可看作方程t²- $\text{[math]}$ t+ $\text{[math]}$ =0的两实根，
设函数S=t²- $\text{[math]}$ （a+b+c）t+ $\text{[math]}$ ac，
①当t=0时，S= $\text{[math]}$ ac＞0；
②当t=a时，S=a²- $\text{[math]}$ •a+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ a（a-b），
而0＜a＜b，
∴S= $\text{[math]}$ a（a-b）＜0；
③当t=b时，S=b²- $\text{[math]}$ （a+b+c）b+ $\text{[math]}$ ac= $\text{[math]}$ （b-a）（b-c），
∵0＜a＜b＜c，
∴S= $\text{[math]}$ （b-a）（b-c）＜0，
④当t=c时，S= $\text{[math]}$ c（c-b）＞0，
可知函数S=t²- $\text{[math]}$ （a+b+c）t+ $\text{[math]}$ ac的图象与t轴的两个交点分别在0，a和b，c之间，如图，
∴方程t²- $\text{[math]}$ t+ $\text{[math]}$ =0的两根分别在0，a之间的和b，c之间，
即0＜x＜a，b＜y＜c．
分析：利用一元二次方程根与系数的关系，得到x，y可看作方程t²- $\text{[math]}$ t+ $\text{[math]}$ =0的两实根，然后设函数S=t²- $\text{[math]}$ （a+b+c）t+ $\text{[math]}$ ac，建立二次函数关系式；当自变量分别为0、a、b、c时求出对应的函数值，根据0＜a＜b＜c可判断这些函数值的正负，然后利用数形结合的思想可画出函数的大致图象，可得到抛物线与x轴的交点的大致位置，从而得到结论．
点评：本题考查了二次函数的综合题：建立二次函数的关系，通过二次函数的性质和几个点的坐标大致画出抛物线，然后利用二次函数的图象确定抛物线与x轴的交点的大致位置．也考查了一元二次方程根与系数的关系以及数形结合思想的运用．