Question

已知：AB为⊙O的直径，∠A=∠B=90°，DE与⊙O相切于E，⊙O的半径为，AD=2．
①求BC的长；
②延长AE交BC的延长线于G点，求EG的长．

Answer 1

解：①过点D作DF⊥BC于点F，
∵AB为⊙O的直径，∠A=∠B=90°，
∴四边形ABFD是矩形，AD与BC是⊙O的切线，
∴DF=AB=2，BF=AD=2，
∵DE与⊙O相切，
∴DE=AD=2，CE=BC，
设BC=x，
则CF=BC-BF=x-2，DC=DE+CE=2+x，
在Rt△DCF中，DC²=CF²+DF²，
即（2+x）²=（x-2）²+（2）²，
解得：x=，
即BC=；

②∵AB为⊙O的直径，∠A=∠B=90°，
∴AD∥BC，
∴△ADE∽△FEC，
∴AD：CG=DE：CE，AE：EG=AD：CG，
∵AD=DE=2，
∴CG=CE=BC=，
∴BG=BC+CG=5，
∴AE：EG=4：5，
在Rt△ABG中，AG==3，
∴EG=AG=．
分析：①过点D作DF⊥BC于点F，由切线长定理可得DE=AD=2，CE=BC，设BC=x，由在Rt△DCF中，DC²=CF²+DF²，即可得方程（2+x）²=（x-2）²+（2）²，解此方程即可求得答案；
②易证得△ADE∽△FEC，由相似三角形的对应边成比例，可得AE：EG=4：5，由勾股定理即可求得AG的长，继而求得答案．
点评：此题考查了切线的性质与判定、切线长定理以及勾股定理等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．