Question

【题目】在平面直角坐标系中，点在抛物线上．

（1）如图1，若抛物线经过点．

①求抛物线的解析式；

②设抛物线与轴交于点，连接，，，若点在抛物线上，且与的面积相等，求点的坐标；

（2）如图2，若抛物线与轴交于点D过点作轴的平行线交抛物线于另一点．点为抛物线的对称轴与轴的交点，为线段上一动点．若以M，D，E为顶点的三角形与相似．并且符合条件的点恰有个，请直接写出抛物线的解析式及相应的点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）当抛物线的解析式为时，点的坐标为或；当抛物线的解析式为时，点的坐标为或

【解析】

（1）①利用待定系数法直接求抛物线的解析式；

②先求解的面积为 分情况讨论：当在的下方时，过点作轴交于，设点利用的面积为，建立方程求解即可，当在的上方时，过点作的平行线，与抛物线的另一交点即为点，利用函数的交点可得答案；

（2）先求解抛物线的解析式为：，得到.

设，利用相似三角形的性质建立方程，由方程解的情况讨论得出结论．

解：①抛物线过点和点

解得

抛物线的解析式为

②在中，令得，

点的坐标为

点到的距离为

设直线的解析式为

则

解得

直线的解析式为

（I）如图，若点在直线下方的抛物线上，过点作轴交于

设点

则点

无解

此时点不存在

（II）若点在直线上方的抛物线上，过点作的平行线，与抛物线的另一交点即为点，则

则可设直线的解析式为

将代入，得

直线的解析式为

令

解得或(舍去)

当抛物线的解析式为时，点的坐标为或

当抛物线的解析式为时，点的坐标为或

理由如下：由点在拋物线上，得

抛物线的解析式为

设

当时，

即

当时，

即

当方程有两个相等实数根时，

解得(负值舍去)

此时，方程有两个相等实数根

方程有一个实数根，符合题意

此时抛物线的解析式为

点的坐标为或

当方程有两个不相等的实数根时，

把代入，解得负值舍去)

此时，方程有两个不相等的实数根

方程有一个实数根，符合题意；

此时抛物线的解析式为

点的坐标为或

综上所述，当抛物线的解析式为

点的坐标为或；

当抛物线的解析式为时，

点的坐标为或