题目内容
【题目】在平面直角坐标系
中，点
在抛物线
上．
（1）如图1，若抛物线经过点
．
①求抛物线的解析式；
②设抛物线与
轴交于点
，连接
，
，
，若点
在抛物线上，且
与
的面积相等，求点的坐标；
（2）如图2，若抛物线与轴交于点D过点
作
轴的平行线交抛物线于另一点
．点
为抛物线的对称轴与轴的交点，
为线段
上一动点．若以M，D，E为顶点的三角形与
相似．并且符合条件的点恰有
个，请直接写出抛物线的解析式及相应的点的坐标．
【答案】（1）①
；②
；（2）当抛物线的解析式为
时，点
的坐标为
或
；当抛物线
的解析式为时，点的坐标为
或
【解析】
（1）①利用待定系数法直接求抛物线的解析式；
②先求解
的面积为
分情况讨论：当
在
的下方时，过点作
轴交于
，设点
利用
的面积为
，建立方程求解即可，当在的上方时，过点
作的平行线，与抛物线的另一交点即为点，利用函数的交点可得答案；
（2）先求解抛物线的解析式为：
，得到
.
设
，利用相似三角形的性质建立方程，由方程解的情况讨论得出结论．
解：
①
抛物线过点
和点
解得
抛物线的解析式为
②在中，令
得
，
点的坐标为
点
到
的距离为
设直线的解析式为
则
解得
直线的解析式为
（I）如图，若点在直线下方的抛物线上，过点作轴交于
设点
则点
无解
此时点不存在
（II）若点在直线上方的抛物线上，过点作的平行线，与抛物线的另一交点即为点，则
则可设直线
的解析式为
将
代入，得
直线的解析式为
令
解得
或
(舍去
)
当抛物线的解析式为时，点的坐标为
或
当抛物线的解析式为时，点的坐标为
或
理由如下：由点在拋物线
上，得
抛物线的解析式为
设
当
时，
即
当
时，
即
当方程
有两个相等实数根时，
解得
(负值舍去)
此时，方程有两个相等实数根
方程
有一个实数根
，符合题意
此时抛物线的解析式为
点的坐标为或
当方程有两个不相等的实数根时，
把代入，解得
负值舍去)
此时，方程有两个不相等的实数根
方程有一个实数根
，符合题意；
此时抛物线的解析式为
点的坐标为或
综上所述，当抛物线的解析式为
点的坐标为或；
当抛物线的解析式为时，
点的坐标为或
