Question

如图，在正方形ABCD内，已知两个动圆⊙O₁与⊙O₂互相外切，且⊙O₁与边AB，AD相切，⊙O₂与边BC，CD相切，若正方形的边长为1，⊙O₁与⊙O₂的半径分别为r₁，r₂．
（1）求r₁和r₂的关系式；
（2）求⊙O₁与⊙O₂的面积之和的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据正方形的性质得AC，AO₁，CO₂，O₁O₂，从而得出r₁和r₂的关系式；
（2）可得出）⊙O₁与⊙O₂的面积之和，用配方法直接得出

S

π

=2（r₁-

2- 2

2

）²+3-2

2

，从而得出面积的最小值．

解答：解：（1）在正方形ABCD中，AC=

2

．
AO₁=

2

r₁，CO₂=

2

r₂，O₁O₂=r₁+r₂．
∵AC=AO₁+CO₂+O₁O₂，
∴

2

r₁+

2

r₂+r₁+r₂=

2

．
∴r₁+r₂=

2

2 +1

=2-

2

；

（2）⊙O₁与⊙O₂的面积之和为：S=π（r₁²+r₂²）．
∴

S

π

=r₁²+（2-

2

-r₁）²=2r₁²-2（2-

2

）r₁+6-4

2

，
配方得，

S

π

=2（r₁-

2- 2

2

）²+3-2

2

，
∴当r₁=

2- 2

2

时，⊙O₁与⊙O₂是等圆，
其面积最小值为S=π（r₁²+r₂²）=（3-2

2

）π．

点评：本题是一道综合题，考查了相切两圆的性质和正方形的性质，是中档题，难度偏大．