Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，CB=4，D是线段AB上的动点（点D运动过程中不与点A、点B重合）BD=x，过D作DE⊥AC，DF⊥BC．
（1）当点D运动到AB中点M时，线段EF的长度是

 

．
（2）设四边形DECF的面积为S，求S与x的函数关系式．
（3）当x为何值时，S有最大值，并求出这个最大值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,二次函数的最值,勾股定理

专题：压轴题

分析：（1）当点D运动到AB中点M时，则DF，DE是三角形ABC的中位线，长度可求出利用勾股定理即可求出EF的长；
（2）用x表示出DE和DF的长，根据矩形的面积公式即可求出S与x的函数关系式．
（3）利用求出的二次函数表达式，求出顶点坐标，就可得出面积s最大时x的值．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，CB=4，
∴AB=5，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴四边形DECF是矩形，
当点D运动到AB中点M时，
则DF=

1

2

AC=

3

2

，DE=

1

2

BC=2，
∴EF=

DE2+DF2

=2.5，

（2））∵在Rt△ABC中，∠C=90°，DE⊥AC，DF⊥BC，BC=4，AC=3，
∴△DBF∽△ABC，
∴

DF

AC

=

BD

AB

，
∴

DF

3

=

x

5

，
∴DF=

3

5

x，
同理：DE=

4

5

（5-x），
∴S与x的函数关系式=DE•DF=

12

25

x（5-x）=

12

5

x-

12

25

x²，

（3）由（2）得：s=-

12

25

（x-2.5）²+

3

2

，
∴当x=

5

2

时，s有最大值为1.5．

点评：本题考查了相似三角形的判定及性质、二次函数的最值．关键在于根据相似三角形及已知条件求出相关线段的表达式，求出二次函数表达式，根据表达式画出图象后，即可求出结论．