Question

如图，⊙A与⊙B内切，⊙A与⊙C外切，⊙A，⊙B，⊙C的半径分别为2＋，，2－，∠BAC＝60°，求BC长．

Answer 1

答案：
解析：

解析：过B点作BD⊥AC于D． 　　∵⊙A与⊙B内切， 　　⊙A与⊙C外切，且⊙A，⊙B，⊙C的半径分别为2＋，，2－． 　　∴AB＝rA－rB＝2＋－＝2． 　　AC＝rA＋rC＝2＋＋2－＝3＋． 　　∵∠BAC＝60°， 　　∴AD＝AB·cos∠BAC＝AB·cos60°， 　　∴AD＝2×＝． 　　∴BD＝AB·sin∠BAC＝AB·sin60°． 　　∴BD＝2×＝3． 　　∴DC＝AC－AD＝3＋－＝3． 　　∵BC2＝BD2＋DC2， 　　∴BC2＝(3)2＋(3)2＝36．BC＝6． 　　或由BD＝DC，得∠C＝45°，∴BC＝＝BD＝6． 　　思路点拨：当两圆相切时，有两圆圆心与切点共线．因此，当两圆内切时，圆心距为两圆半径之差；当两圆外切时，两圆圆心距为两圆半径之和．因此，AB＝rA－rB，AC＝rA＋rC．但注意，△ABC不一定是Rt△，利用特殊角∠BAC＝60°，过B点作高BD，构造两个直角三角形，进而利用勾股定理求得BC长． 　　评注：两圆相切时，要注意说明两圆心与切点三点共线，设法构成直角三角形利用勾股定理解题．