题目内容

如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．
（1）若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q两点之间的距离是多少cm？
（2）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？
（3）若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm²？

解：（1）过点P作PE⊥CD于E．则根据题意，得
EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；
在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得
PE²+EQ²=PQ²，即36+36=PQ²，
∴PQ=6 $\text{[math]}$ cm；
∴经过2s时P、Q两点之间的距离是6 $\text{[math]}$ cm；

（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．
（16-2x-3x）²+6²=10²，即（16-5x）²=64，
∴16-5x=±8，
∴x1= $\text{[math]}$ ，x2= $\text{[math]}$ ；
∴经过 $\text{[math]}$ s或 $\text{[math]}$ sP、Q两点之间的距离是10cm；

（3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm²．
①当0≤y≤ $\text{[math]}$ 时，则PB=16-3y，
∴ $\text{[math]}$ PB•BC=12，即 $\text{[math]}$ ×（16-3y）×6=12，
解得y=4；
②当 $\text{[math]}$ ＜x≤ $\text{[math]}$ 时，
BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则
$\text{[math]}$ BP•CQ= $\text{[math]}$ （3y-16）×2y=12，
解得y₁=6，y2=- $\text{[math]}$ （舍去）；
③ $\text{[math]}$ ＜x≤8时，
QP=CQ-PQ=22-y，则
$\text{[math]}$ QP•CB= $\text{[math]}$ （22-y）×6=12，
解得y=18（舍去）．
综上所述，经过4秒或6秒△PBQ的面积为 12cm²．
分析：（1）作PE⊥CD于E，表示出PQ的长度，利用PE²+EQ²=PQ²列出方程求解即可；
（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程（16-5x）²=64，通过解方程即可求得x的值；
（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．
点评：本题考查了一元二次方程的应用，另外还综合考查了矩形的性质、两点间的距离、三角形的面积等知识点．解答（3）时，要分类讨论，以防漏解．