题目内容

如图，直线y=kx-2分别交x轴、y轴于点A、B，点P为AB上一点且PC为△AOB的中位线，PC的延长线交反比例函数 $数学公式$ 的图象于点Q，若PQ= $数学公式$ ，求k的值．

解：∵一次函数y=kx-2的图象交y轴于点B，
∴令x=0，得到y=-2，
∴B（0，-2），即OB=2，
又PC为△AOB的中位线，
∴PC= $\text{[math]}$ OB=1，PC∥OB．
∵OB⊥OA，∴PQ⊥OA，
∵PQ= $\text{[math]}$ ，
∴CQ= $\text{[math]}$ -1= $\text{[math]}$ ，
∴点Q的纵坐标为 $\text{[math]}$ ，
将y= $\text{[math]}$ 代入y= $\text{[math]}$ 中得： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得：x=2，
∴Q（2， $\text{[math]}$ ），
∴OC=2，
∴P（2，-1），
把P（2，-1）代入y=kx-2得：2k-2=-1，
则k= $\text{[math]}$ ．
分析：由一次函数y=kx-2与y轴交于点B，令x=0，求出对应的y=2，可得出B的坐标，确定出OB的长，由PC为三角形AOB的中位线，根据三角形中位线定理得到PC等于OB的一半，由OB的长求出PC的长，同时得到PC与OB平行，由OB垂直于OA，得到PQ垂直于OA，用PQ-PC求出QC的长，即为Q的纵坐标，将Q的纵坐标代入反比例函数解析式中求出对应x的值，即为Q的横坐标，确定出Q的坐标，进而得到OC的长，由OC及PC的长，确定出P的坐标，将P的坐标代入y=kx-2中，即可求出k的值．
点评：此题属于反比例函数的综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，三角形的中位线定理，以及平面坐标系中点与坐标的关系，其中根据题意得出P的坐标是解本题的关键．