Question

△ABC中，AB=AC=

5

，BC=2．在BC边上有n个不同的点M₁，M₂，…M_n，过这n个点分别作△ABC的内接矩形M₁N₁P₁Q₁，M₂N₂P₂Q₂，…M_nN_nP_nQ_n．设每个内接矩形的周长分别为C₁，C₂，…C_n，则C₁+C₂+C₃+A+C₅₀₃=

2012

．

Answer 1

分析：首先过点A作AH⊥BC于H，由△ABC中，AB=AC=

5

，BC=2．可求得AH的长，又由四边形M₁N₁P₁Q₁是矩形，可得N₁M₁=P₁Q₁，N₁P₁=M₁Q₁，N₁M₁⊥BC，易证得△BM₁N₁∽△BHA，然后由相似三角形的对应边成比例，求得

N1M1

AH

=

BM1

BH

，即可得N₁M₁=2BM₁，同理：P₁Q₁=2CQ₁，求得C₁，继而可得C₂，…C_n，则可求得答案．

解答：解：过点A作AH⊥BC于H，
∵△ABC中，AB=AC=

5

，BC=2．
∴BH=

1

2

BC=1，
∴AH=

AB2-BH2

=2，
∵四边形M₁N₁P₁Q₁是矩形，
∴N₁M₁=P₁Q₁，N₁P₁=M₁Q₁，N₁M₁⊥BC，
∴N₁M₁∥AH，
∴△BM₁N₁∽△BHA，
∴

N1M1

AH

=

BM1

BH

，
∴

N1M1

2

=

BM1

1

，
∴N₁M₁=2BM₁，
同理：P₁Q₁=2CQ₁，
∴矩形M₁N₁P₁Q₁的周长为：N₁M₁+N₁P₁+P₁Q₁+M₁Q₁=2M₁Q₁+2BM₁+2CQ₁=2（M₁Q₁+BM₁+CQ₁）=2BC=4，
∴C₁=4，
同理：C₂=C₃=…=C_n=4，
∴C₁+C₂+C₃+A+C₅₀₃=4×503=2012．
故答案为：2012．

点评：此题考查了矩形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识．此题难度较大，注意数形结合思想与转化思想的应用是解此题的关键．