Question

4．已知两实数a与b，M=a²+b²，N=2ab
（1）请判断M与N的大小，并说明理由．
（2）请根据（1）的结论，求$\frac{y^2}{x^2}+\frac{x^2}{y^2}+3$的最小值（其中x，y均为正数）
（3）请判断a²+b²+c²-ab-ac-bc的正负性（a，b，c为互不相等的实数）

Answer 1

分析 （1）由M-N是一个完全平方式，分解因式得出M-N=（a-b）²≥0，即可得出结论；
（2）由（1）的结论容易得出结果；
（3）把原式化成=$\frac{1}{2}$[（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²]，即可得出结论．

解答 解：（1）M≥N；理由如下：
∵M-N=a²+b²-2ab=（a-b）²≥0，∴M≥N；        
（2）∵$\frac{y^2}{x^2}+\frac{x^2}{y^2}+3$$≥2×\frac{y}{x}×\frac{x}{y}+3=5$
∴最小值为5；
（3）a²+b²+c²-ab-ac-bc＞0，理由如下：
∵a²+b²+c²-ab-ac-bc
=$\frac{1}{2}$（2a²+2b²+2c²-2ab-2ac-2bc）
=$\frac{1}{2}$[（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²]，
∵a，b，c为互不相等的实数，
∴a²+b²+c²-ab-ac-bc＞0．

点评 本题考查了因式分解的应用、偶次方的非负性质；熟练掌握用完全平方公式分解因式，并能进行推理论证是解决问题的关键．