Question

【题目】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，直径AB＝10．sinA＝，点D为线段AC上一动点（不运动至端点A、C），作DF⊥AB于F，连结BD，井延长BD交⊙O于点H，连结CF．

（1）当DF经过圆心O时，求AD的长；

（2）求证：△ACF∽△ABD；

（3）求CFDH的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析（3）当x＝4时，CFDH的最大值为

【解析】

（1）由AB是直径知∠ACB＝90°，依据三角函数求出BC＝6，由勾股定理求出AC＝8，由AB⊥DE知∠AFD＝∠ACB＝90°，结合∠A为公共角可证△ADF∽△ABC，得出对应边成比例，即可求出AD的长；

（2）由△ADF∽△ABC知，结合∠A为△ACF和△ABD的公共角可证△ACF∽△ABD；

（3）连接CH，先证△ACH∽△HCD得出比例式，即CFDH＝CDAF，再设AD＝x，则CD＝8﹣x，AF＝x，从而得出CFDH＝﹣（x﹣4）2+，利用二次函数的性质求解可得．

（1）当DF经过圆心O时，AF＝OA＝5，

∵AB为直径，AB＝10，

∴∠ACB＝90°，

∴sinA＝，

∴BC＝6，

由勾股定理得：，

∵AB⊥DE，

∴∠AFD＝∠ACB＝90°，

∵∠A＝∠A，

∴△ADF∽△ABC，

∴，

∴；

（2）证明：由（1）得：△ADF∽△ABC，

∴，即，

又∵∠A为△ACF和△ABD的公共角，

∴△ACF∽△ABD；

（3）连接CH，如图所示：

由（2）知△ACF∽△ABD，

∴∠ABD＝∠ACF，

∵∠ABD＝∠ACH，

∴∠ACH＝∠ACF，

又∵∠CAF＝∠H，

∴△ACH∽△HCD，

∴，即CFDH＝CDAF，

设AD＝x，则CD＝8﹣x，AF＝x，

∴CFDH＝x（8﹣x）＝﹣x2+x＝﹣（x﹣4）2+，

∴当x＝4时，CFDH的最大值为．