Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Rt△OAB的直角边OA在x轴的正半轴上，点B坐标为（

3

，1），以OB所在直线为对称轴将△OAB作轴对称变换得△OCB．现有动点P从点O出发，沿线段OA向点A运动，动点Q从点C出发，沿线段CO向点O运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．设点P运动的时间为t秒．
（1）求∠AOC的度数；
（2）若四边形BCQP的面积为S（平方单位），求S与t之间的函数关系式；
（3）设PQ与OB交于点M，
①当△OMQ为等腰三角形时，求t的值．
②探究线段OM长度的最大值是多少，直接写出结论．

Answer 1

分析：（1）判断出△OCB≌△OAB，故可得到∠COB=∠AOB=30°，根据折叠不变性即可得到∠AOC=60；
（2）根据S=2S_△OAB-S_△OPQ-S_△PAB，再结合三角形的面积公式，即可建立S和t的关系式．
（3）若△OMQ为等腰三角形，则OM=MQ，OM=OQ或MQ=OQ，对每种情况进行解答，关键是将各边的表达式代入即可．

解答：解：（1）∵在Rt△OAB中，AB=1，OA=

3

，
∴tan∠AOB=

AB

OA

=

1

3

=

3

3

，即∠AOB=30°，
∵△OCB≌△OAB，
∴∠COB=∠AOB=30°，
∴∠AOC=60°；

（2）∵OP=CQ=t，AB=1，OC=OA=

3

，
∴AP=OQ=

3

-t，
∴S=2S_△OAB-S_△OPQ-S_△PAB，
=OA×AB-

1

2

OP×OQ×sin∠AOC-

1

2

PA×AB，
=

3

×1-

1

2

×t×(

3

-t)×

3

2

-

1

2

×(

3

-t)×1，
=

3

4

t2-

1

4

t+

3

2

；

（3）①若△OMQ为等腰三角形，则：
（i）如图①所示，若OM=MQ，∠MQO=∠QOM=30°，
∵∠AOC=60°，
∴∠OPQ=90°，
∴

OP

OQ

=

1

2

，即

t

3 -t

=

1

2

，
解得：t=

3

3

．
（ii）如图②所示，若OM=OQ，∠OMQ=∠OQM=75°，
∵∠AOC=60°，
∴∠OPQ=45°，
过点Q作QE⊥OA，垂足为E，则有：
EQ=EP，即

3

2

(

3

-t)=t-

1

2

(

3

-t)，
解得：t=1．
（iii）若MQ=OQ，∠OMQ=∠QOM=∠POM，则PQ∥OA，显然不满足题意．
②线段OM长的最大值为

3

4

．

点评：此题主要考查了二次函数的最值、翻折变换、解直角三角形、等腰三角形的性质等内容，综合性很强，同时要注意分类讨论思想的应用．