题目内容
△ABC中，AB=AC，AD是底边BC上的高，DE⊥AC于E，G是DE的中点，AG，BE相交于点H，BE，AD相交于点M
（1）如图a，若∠BAC=60°，求证：△ADG∽△BCE；
（2）如图b，连接DH，AM=1，BE=4AG，求DH的长．
（1）如图a，若∠BAC=60°，求证：△ADG∽△BCE；
（2）如图b，连接DH，AM=1，BE=4AG，求DH的长．
分析：（1）先根据∠BAC=60°，AB=AC，AD⊥BC，DE⊥AC，可得出BD=DC，∠DAC=∠EDC=30°，在Rt△DEC中，由直角三角形的性质可知
=2，所以
=4，同理可得在Rt△ADE中，
=2，
=4，
故可得出
=
，再由∠ADE=∠C即可得出结论；
（2）由∠ADE+∠EDC=90°可知∠ADE=∠C，由相似三角形的判定定理可知△CDE∽△DAE，故可得出
=
，即
=
，
=
，∠ADE=∠C，进而得出△ADG∽△BCE，tanC=
，故可得出∠AHE=∠ADB=90°，设DG=
a，则GE=
a，EC=4
a，DC=10a，所以AD=5a，AE=
a，∠AGE=45°，过点E作EF⊥BC于点F，过点H作GP⊥AD于点P，根据MD∥EF可知△BMD∽△BEF，所以
=
，
=
=
=
=tan∠MBD=tan∠DAG=
，在Rt△AHE中可用a表示出AH的长，在Rt△AMH中，根据AM=
a=1求出a的值，故可得出AH，AP，DP，PH的长，根据勾股定理即可得出结论．
| DC |
| EC |
| BC |
| EC |
| AD |
| DE |
| AD |
| DG |
故可得出
| BC |
| AD |
| EC |
| DG |
（2）由∠ADE+∠EDC=90°可知∠ADE=∠C，由相似三角形的判定定理可知△CDE∽△DAE，故可得出
| CD |
| DA |
| CE |
| DE |
| ||
| DA |
| CE |
| 2DG |
| BC |
| CE |
| DA |
| DG |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 5 |
| 5 |
| 5 |
| MD |
| EF |
| BD |
| BF |
| MD |
| BD |
| EF |
| BF |
| 4a |
| 12a |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
解答：（1）证明：∵∠BAC=60°，AB=AC，AD⊥BC，DE⊥AC，
∴BD=DC，∠DAC=∠EDC=30°，
∴在Rt△DEC中，
=2，
∴
=4，
在Rt△ADE中，
∵
=2，
∴
=4，
∴
=
，
∵∠ADE=∠C，
∴△ADG∽△BCE；
（2）解：∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠ADE=∠C，
∵∠DEC=∠AED=90°，
∴△CDE∽△DAE，
∴
=
，
∴
=
，
∴
=
，∠ADE=∠C，
∴△ADG∽△BCE，
∴
=
=4，
∴
=
=2，
∴tanC=
，
∴∠DAG=∠EBC，∠AMH=∠BMD，
∴∠AHE=∠ADB=90°，
设DG=
a，则GE=
a，EC=4
a，DC=10a，
∴AD=5a，AE=
a，
∴∠AGE=45°，
过点E作EF⊥BC于点F，过点H作GP⊥AD于点P，
∴EF=4a，FC=8a，BF=12a，
∵MD∥EF，
∴△BMD∽△BEF，
∴
=
，
∴
=
=
=
=tan∠MBD=tan∠DAG=
，
在Rt△AHE中，AH=
=
a，
在Rt△AMH中，
∵AM=
a=1，
∴a=
，AD=3，
∴AH=
，AP=
，DP=
，PH=
，
∴DH=
=
．
∴BD=DC，∠DAC=∠EDC=30°，
∴在Rt△DEC中，
| DC |
| EC |
∴
| BC |
| EC |
在Rt△ADE中，
∵
| AD |
| DE |
∴
| AD |
| DG |
∴
| BC |
| AD |
| EC |
| DG |
∵∠ADE=∠C，
∴△ADG∽△BCE；
（2）解：∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠ADE=∠C，
∵∠DEC=∠AED=90°，
∴△CDE∽△DAE，
∴
| CD |
| DA |
| CE |
| DE |
∴
| ||
| DA |
| CE |
| 2DG |
∴
| BC |
| CE |
| DA |
| DG |
∴△ADG∽△BCE，
∴
| BE |
| AG |
| EC |
| DG |
∴
| 2DG |
| EC |
| DE |
| EC |
∴tanC=
| 1 |
| 2 |
∴∠DAG=∠EBC，∠AMH=∠BMD，
∴∠AHE=∠ADB=90°，
设DG=
| 5 |
| 5 |
| 5 |
∴AD=5a，AE=
| 5 |
∴∠AGE=45°，
过点E作EF⊥BC于点F，过点H作GP⊥AD于点P，
∴EF=4a，FC=8a，BF=12a，
∵MD∥EF，
∴△BMD∽△BEF，
∴
| MD |
| EF |
| BD |
| BF |
∴
| MD |
| BD |
| EF |
| BF |
| 4a |
| 12a |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
在Rt△AHE中，AH=
| ||
|
| ||
| 2 |
在Rt△AMH中，
∵AM=
| 5 |
| 3 |
∴a=
| 3 |
| 5 |
∴AH=
3
| ||
| 10 |
| 9 |
| 10 |
| 21 |
| 10 |
| 3 |
| 10 |
∴DH=
| PH2+DP2 |
3
| ||
| 2 |
点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形，利用相似三角形的性质求解是解答此题的关键．
练习册系列答案
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15、如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在直线BC上运动．如果∠DAE=l05°，△ABD∽△ECA，则∠BAC=
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，连接AO、BE、DC．