Question

如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm²）
（1）当t=1秒时，S的值是多少？
（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；
（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．

Answer 1

解：（1）如图1，当t=1秒时， AE=2，EB=10，BF=4，FC=4，CG=2 由S=S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG =×（EB+CG）·BC﹣EB·BF﹣FC·CG =×（10+2）×8﹣×10×4﹣×4×2 =24（cm2）； （2）①如图1，当0≤t≤2时， 点E、F、G分别在边AB、BC、CD上移动， 此时AE=2t，EB=12﹣2t，BF=4t，FC=8﹣4t，CG=2t， S=S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG =×（EB+CG）·BC﹣EB·BF﹣FC·CG =×8×（12﹣2t+2t）﹣×4t×（12﹣2t）﹣×2t×（8﹣4t） =8t2﹣32t+48． 即S=8t2﹣32t+48； ②如图2，当点F追上点G时，4t=2t+8，解得：t=4； 当2<t<4时，点E在边AB上移动，点F、G都在边CD上移动， 此时CF=4t﹣8，CG=2t，FG=CG﹣CF=2t﹣（4t﹣8）=8﹣2t， S=FG·BC =×（8﹣2t）×8 =﹣8t+32． 即S=﹣8t+32； （3）如图1，当点F在矩形的边BC上的边移动时，0≤t≤2， 在△EBF和△FCG中，∠B=∠C=90°， ①若=，即=， 解得：t=． 又t=满足0≤t≤2， ∴当t=时，△EBF∽△FCG； ②若=，即=， 解得：t=． 又t=满足0≤t≤2， ∴当t=时，△EBF∽△GCF． 综上所述，当t=或t=时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似．

图1 图2