先阅读下列材料.然后回答问题．材料:从3张不同的卡片中选取2张.有3张不同的选法.抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素的组合.组合数记为${C} {3}^{2}$=$\frac{3×2}{2×1}$=3．一般地.从n个不同的元素中选取m个元素的组合数记作${C} {n}^{m}$.${C} {n}^{m}$=$\frac{n-2×1}$ 如:从6个� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．先阅读下列材料，然后回答问题．
材料：从3张不同的卡片中选取2张，有3张不同的选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素的组合，组合数记为${C}_{3}^{2}$=$\frac{3×2}{2×1}$=3．
一般地，从n个不同的元素中选取m个元素的组合数记作${C}_{n}^{m}$，${C}_{n}^{m}$=$\frac{n（n-1）…（n-m+1）}{m（m-1）…2×1}$（m≤n）
如：从6个不同元素中选3个元素的组合数为：${C}_{6}^{3}$=$\frac{6×5×4}{3×2×1}$=20．
（1）计算：${C}_{4}^{2}$=6，${C}_{4}^{3}$=4，${C}_{5}^{3}$=10，${C}_{5}^{4}$=5，${C}_{5}^{5}$=1，${C}_{6}^{5}$=6．
（2）由上述计算，探索猜想${C}_{n}^{k}$、${C}_{n+1}^{k+1}$、${C}_{n}^{k+1}$之间有什么关系？（直接写出结果）
（3）由（2）的结论，请你计算：${C}_{3}^{3}$+${C}_{3}^{2}$+${C}_{4}^{2}$+${C}_{3}^{2}$+…+${C}_{20}^{2}$．

分析（1）根据新定义分别进行计算；
（2）利用（1）中的计算结果得${C}_{4}^{2}$+${C}_{4}^{3}$=${C}_{5}^{3}$，${C}_{5}^{4}$+${C}_{5}^{5}$=${C}_{6}^{5}$，由此规律可得${C}_{n}^{k}$+${C}_{n}^{k+1}$=${C}_{n+1}^{k+1}$；
（3）利用（2）中的规律从左到右依次计算即可．

解答解：（1）${C}_{4}^{2}$=$\frac{4×3}{2×1}$=6，${C}_{4}^{3}$=$\frac{4×3×2}{3×2×1}$=4，${C}_{5}^{3}$=$\frac{5×4×3}{3×2×1}$=10，${C}_{5}^{4}$=$\frac{5×4×3×2}{4×3×2×1}$=5，${C}_{5}^{5}$=$\frac{5×4×3×2×1}{5×4×3×2×1}$=1，${C}_{6}^{5}$=$\frac{6×5×4×3×2}{5×4×3×2×1}$=6．
故答案为6，4，10，5，1，6；
（2）${C}_{n}^{k}$+${C}_{n}^{k+1}$=${C}_{n+1}^{k+1}$；
（3）${C}_{3}^{3}$+${C}_{3}^{2}$+${C}_{4}^{2}$+C₅²+…+${C}_{20}^{2}$=C₄³+${C}_{4}^{2}$+C₅²+…+${C}_{20}^{2}$
=C₅³+C₅²+…+${C}_{20}^{2}$
=C₆³+…+${C}_{20}^{2}$
=C₂₁³．