题目内容
12．先阅读下列材料，然后回答问题．材料：从3张不同的卡片中选取2张，有3张不同的选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素的组合，组合数记为${C}_{3}^{2}$=$\frac{3×2}{2×1}$=3．
一般地，从n个不同的元素中选取m个元素的组合数记作${C}_{n}^{m}$，${C}_{n}^{m}$=$\frac{n（n-1）…（n-m+1）}{m（m-1）…2×1}$（m≤n）
如：从6个不同元素中选3个元素的组合数为：${C}_{6}^{3}$=$\frac{6×5×4}{3×2×1}$=20．
（1）计算：${C}_{4}^{2}$=6，${C}_{4}^{3}$=4，${C}_{5}^{3}$=10，${C}_{5}^{4}$=5，${C}_{5}^{5}$=1，${C}_{6}^{5}$=6．
（2）由上述计算，探索猜想${C}_{n}^{k}$、${C}_{n+1}^{k+1}$、${C}_{n}^{k+1}$之间有什么关系？（直接写出结果）
（3）由（2）的结论，请你计算：${C}_{3}^{3}$+${C}_{3}^{2}$+${C}_{4}^{2}$+${C}_{3}^{2}$+…+${C}_{20}^{2}$．
分析 （1）根据新定义分别进行计算；
（2）利用（1）中的计算结果得${C}_{4}^{2}$+${C}_{4}^{3}$=${C}_{5}^{3}$，${C}_{5}^{4}$+${C}_{5}^{5}$=${C}_{6}^{5}$，由此规律可得${C}_{n}^{k}$+${C}_{n}^{k+1}$=${C}_{n+1}^{k+1}$；
（3）利用（2）中的规律从左到右依次计算即可．
解答 解：（1）${C}_{4}^{2}$=$\frac{4×3}{2×1}$=6，${C}_{4}^{3}$=$\frac{4×3×2}{3×2×1}$=4，${C}_{5}^{3}$=$\frac{5×4×3}{3×2×1}$=10，${C}_{5}^{4}$=$\frac{5×4×3×2}{4×3×2×1}$=5，${C}_{5}^{5}$=$\frac{5×4×3×2×1}{5×4×3×2×1}$=1，${C}_{6}^{5}$=$\frac{6×5×4×3×2}{5×4×3×2×1}$=6．
故答案为6，4，10，5，1，6；
（2）${C}_{n}^{k}$+${C}_{n}^{k+1}$=${C}_{n+1}^{k+1}$；
（3）${C}_{3}^{3}$+${C}_{3}^{2}$+${C}_{4}^{2}$+C52+…+${C}_{20}^{2}$=C43+${C}_{4}^{2}$+C52+…+${C}_{20}^{2}$
=C53+C52+…+${C}_{20}^{2}$
=C63+…+${C}_{20}^{2}$
=C213．
点评 本题考查了规律型-数字的变化类：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．本题的关键是对新定义的理解．
练习册系列答案
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17．
二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则abc，b2-4ac，2a+b，a+b+c这四个式子中，值为正数的有（ ）
二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则abc，b2-4ac，2a+b，a+b+c这四个式子中，值为正数的有（ ）| A． | 4个 | B． | 3个 | C． | 2个 | D． | 1个 |
