Question

【题目】已知抛物线经过点，点，与x轴交于另一点C，顶点为D，连接．

（１）求该抛物线的解析式；

（２）点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t，

①当点P在直线的下方运动时，求面积的最大值；

②该抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请直接写出点P的坐标若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①当时，的面积取得最大值，最大值为；②存在．满足条件的点P坐标为和

【解析】

（1）将点，点代入抛物线中求出a，b即可；

（2）①过点P作轴于点E，交直线于点F，先求出直线BC的解析式，进而设P的坐标为，F的坐标为，从而求出的面积表达式即可求得最值；②分两种情况进行讨论，当点P在直线BC的上方时，当时，则和当点P在直线BC的下方时，设直线PB与CD交于点M，若，则，进而即可求得点P的坐标．

解：（1）∵抛物线经过点，点

∴

解得

∴抛物线的解析式为；

（2）①如图①，过点P作轴于点E，交直线于点F

在抛物线中，令

则，解得，

∴点C的坐标为

由点和点可求得直线的解析式为

设点P的坐标为，由题意可知

则点F的坐标为

∴

∴

∵

∴当时，的面积取得最大值，最大值为；

②存在．满足条件的点P坐标为和

∵

∴抛物线的顶点D的坐标为

由点和点可求得直线的解析式为

如图②，当点P在直线的上方时，当时，则

设直线的解析式为，把点的坐标代入，得

∴直线的解析式为

由，解得，（舍去）

当时，

∴点P坐标为；

如图③，当点P在直线的下方时

设直线与交于点M，若，则

过点B作轴于点N，则点

∴

∴垂直平分线段

设直线与交于点G，则线段的中点G为．由点和点可求得解析式为

∵直线，与直线交

∴由，解得

∴点M的坐标为

由点和点可求得直线的解析式为

∴由，解得，（舍去）

∴点P坐标为；

∴综上所述，满足条件的点P坐标为和．