Question

如图，已知直线MN经过⊙O上的点A，点B在MN上，连OB交⊙O于C点，且点C是OB的中点，AC=

1

2

OB，若点P是⊙O上的一个动点，当AB=2

3

时，求△APC的面积的最大值．

Answer 1

分析：连接OA，过点O作OE⊥AC于E，延长EO交圆于点F，则P（F）E是△PAC的AC边上的最大的高，根据已知及三角函数求得AC，PE的值，再根据三角形的面积公式不难求得△APC的面积的最大值．

解答：解：连接OA；
∵C是OB的中点，且AC=

1

2

OB，
∴∠OAB=90°（2分），
∴∠O=60°，
∴OA=AC=2；
过点O作OE⊥AC于E，延长EO交圆于点F，则P（F）E是△PAC的AC边上的最大的高；（1分）
在△OAE中，OA=2，∠AOE=30°，
∴OE=

3

（1分），
∴PE=2+

3

（1分），
∴S△PAC=

1

2

AC•PE=

1

2

×2×(2+

3

)，
即S△PAC=2+

3

．（1分）

点评：解此题的关键是把有关圆的知识抽象到解三角形中来进行解答．