题目内容
如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D、E分别是边AB、AC上的两个动点（D不与A、B重合）
，且保持DE∥BC，以ED为边，在点A的异侧作正方形DEFG．（1）试求△ABC的面积；
（2）当边FG与BC重合时，求正方形DEFG的边长；
（3）设AD=x，当△BDG是等腰三角形时，求出AD的长．
分析：（1）作底边上的高，利用勾股定理求出高就可以求出面积．
（2）根据DE∥BC，得到△ADE∽△ABC，再根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求出边DE的长度．
（3）根据△ADE∽△ABC得
=
，求出AD的长．
（2）根据DE∥BC，得到△ADE∽△ABC，再根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求出边DE的长度．
（3）根据△ADE∽△ABC得
| AD |
| AB |
| DE |
| BC |
解答：
解：（1）过A作AH⊥BC于H，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BH=
BC=3，
∴AH=
=
=4，
∴S△ABC=
BC•AH=
×6×4=12．
（2）令此时正方形的边长为a，
∵DE∥BC，
∴
=
，
∴a=
．
（3）当AD=x时，由△ADE∽△ABC得
=
，
即
=
，解得DE=
x，
当BD=DG时，5-x=
x，x=
，
当BD=BG时，
=
，解得x=
，
当BG=DG时，
=
，解得x=
，
∴当△BDG是等腰三角形时，AD=
或
或
．
解：（1）过A作AH⊥BC于H，∵AB=AC=5，BC=6，
∴BH=
| 1 |
| 2 |
∴AH=
| AB2-BH2 |
| 52-32 |
∴S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（2）令此时正方形的边长为a，
∵DE∥BC，
∴
| a |
| 6 |
| 4-a |
| 4 |
∴a=
| 12 |
| 5 |
（3）当AD=x时，由△ADE∽△ABC得
| AD |
| AB |
| DE |
| BC |
即
| x |
| 5 |
| DE |
| 6 |
| 6 |
| 5 |
当BD=DG时，5-x=
| 6 |
| 5 |
| 25 |
| 11 |
当BD=BG时，
| 5-x |
| 5 |
| ||
| 4 |
| 20 |
| 7 |
当BG=DG时，
| ||
| 4 |
| ||
| 5 |
| 125 |
| 73 |
∴当△BDG是等腰三角形时，AD=
| 25 |
| 11 |
| 20 |
| 7 |
| 125 |
| 73 |
点评：本题考查了正方形、等腰三角形的性质，相似比等相关知识．综合性较强，解题时要仔细．
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