Question

如图①， 已知抛物线（a≠0）与轴交于点A(1，0)和点B (－3，0)，与y轴交于点C．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 设抛物线的对称轴与轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

     

  

(3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

Answer 1

解: (1)由题知:    

 解得:

∴ 所求抛物线解析式为:

 (2) 存在符合条件的点P, 其坐标为P (－1, )或P(－1,－ )

或P (－1, 6)  或P (－1, )

(3)解法①：

过点E 作EF⊥x 轴于点F , 设E ( a ,--2a＋3 )( －3< a < 0 )

∴EF=--2a＋3，BF=a＋3，OF=－a

∴S_{四边形BOCE} = BF?EF + (OC +EF)?OF  

=( a＋3 )?(－－2a＋3) + (－－2a＋6)?（－a）

=

=－+

∴ 当a =－时，S_{四边形BOCE} 最大, 且最大值为 ． 

此时，点E 坐标为 (－，)

解法②：

过点E 作EF⊥x 轴于点F， 设E ( x ,  y ) ( －3< x < 0 )

则S_{四边形BOCE} = (3 + y )?(－x) +  ( 3 + x )?y

             = ( y－x)= ( ) 

             = － +  

∴ 当x =－时，S_{四边形BOCE} 最大，且最大值为 ．

此时，点E 坐标为 (－，)