Question

【题目】已知抛物线（，是常数，且），经过点，，与轴交于点.

（Ⅰ）求抛物线的解析式；

（Ⅱ）若点是射线上一点，过点作轴的垂线，垂足为点，交抛物线于点，设点横坐标为，线段的长为，求出与之间的函数关系式，并写出相应的自变量的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点在线段上时，设，已知，是以为未知数的一元二次方程（为常数）的两个实数根，点在抛物线上，连接，，，且平分，求出值及点的坐标.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），；（Ⅲ）值为，点坐标为或.

【解析】

（Ⅰ）将点A和点B（3，0）坐标代入y=a+bx+3得到a和b的方程组，然后解方程求出a和b，即可得到抛物线的解析式；

（Ⅱ）先根据待定系数法求出直线BC的解析式，分当点P在线段CB上时，和点P在射线BN上时，两种情况讨论，点的横坐标为，得出P点的坐标为（t，-t+3），Q点的坐标为（t，-t2+2t+3），就可以得出d与t之间的函数关系式而得出结论；

（Ⅲ）根据根的判别式就可以求出m的值，就可以求出方程的解而求得PQ和PH的值，延长MP至L，使LP=MP，连接LQ、LH，延长MP至L，使LP=MP，连接LQ、LH，就可以得出四边形LQMH是平行四边形，进而得出四边形LQMH是菱形，由菱形的性质就可以求出结论．

解：（Ⅰ）将代入，

得解得

∴抛物线的解析式为；

（Ⅱ）∵点的坐标为，

设直线的方程为，

将代入，得.

解得.

∴直线的方程为.

∵点的横坐标为，且垂直于轴，

∴点的坐标为，点的坐标为.

①如图，当点在线段上时，

.

②如图，当点在射线上时，

.

∵，

∴

（Ⅲ）∵是的两个实数根.

∴，即.

整理得：.

∴.

∴.

∴方程为.

解得.

∵与是的两个实数根，

所以.

即.

∴.

如图，延长至，使，连接，，

∵，，

∴四边形是平行四边形.

∴.

∴.

∵，

∴.

∴.

∴是菱形.

∴.

∴点的纵坐标与点纵坐标相等，都是.

在中，当时，.

∴.

解得.

综上所述：值为，点坐标为或.