Question

如图，点D、E分别在AB、AC上，AD=AE，∠B=∠C，CD与BE交于点O． 
（1）试证BD=CE；
（2）连接BC，画直线AO，则直线AO与BC有何关系？证明你的猜测．

Answer 1

分析：（1）首先证明△ABE≌△ACD，根据全等三角形的性质可以证出AB=AC，再利用线段的和差关系可得到BD=CE；
（2）首先证明△DBO≌和△ECO可得OB=OC，根据到线段两短点距离相等的点在线段的垂直平分线上可知O在线段BC的垂直平分线上，再根据AB=AC，可得A在线段BC的垂直平分线上，根据两点确定一条直线可得到直线AO是BC的垂直平分线．

解答：解：（1）证明：
在△ABE和△ACD中，

∠B=∠C ∠A=∠A AD=AE

(已知) (公共角) (已知)

，
∴△ABE≌△ACD（AAS），
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等），
∵AE=AD（已知）
∴BD=CE；

（2）直线AO是BC的垂直平分线，
理由如下：
在△DBO和△ECO中

DB=EC ∠ABE=∠ACD ∠DOB=∠EOC

，
∴△DBO≌和△ECO（AAS），
∴OB=OC，
∴O在线段BC的垂直平分线上（到线段两短点距离相等的点在线段的垂直平分线上），
∵AB=AC，
∴A在线段BC的垂直平分线上，
∴直线AO是BC的垂直平分线．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是熟练把握判定三角形全等的条件，以及全等三角形对应边相等，对应角相等．