题目内容
11、若a1，a2，…，an是1，2，…，n的任意一个排列（n是奇数），则（a1-1）（a2-2）…（an-n）是偶数．
分析：由a1，a2，…，an是1，2，…，n的任意一个排列（n是奇数），可得a1+a2+…+an=1+2+…+n，（a1-1）+（a2-2）+…+（an-n）=0是偶数，根据奇数个数的和为偶数，则其中必至少有一个是偶数的性质即可证明．
解答：证明：∵a1，a2，…，an是1，2，…，n的任意一个排列（n是奇数），
∴a1+a2+…+an=1+2+…+n，
∴（a1-1）+（a2-2）+…+（an-n）=0是偶数，
∴（a1-1），（a2-2），…，（an-n）中必至少有一个是偶数，
∴（a1-1）（a2-2）…（an-n）是偶数，
即证之．
∴a1+a2+…+an=1+2+…+n，
∴（a1-1）+（a2-2）+…+（an-n）=0是偶数，
∴（a1-1），（a2-2），…，（an-n）中必至少有一个是偶数，
∴（a1-1）（a2-2）…（an-n）是偶数，
即证之．
点评：本题考查了整数的奇偶性问题，难度一般，关键是掌握奇数个数的和为偶数，则其中必至少有一个是偶数．
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