题目内容

如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC= $数学公式$ ，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则当OC为最大值时，点C的坐标是________．

（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
分析：E为AB的中点，当O，E及C共线时，OC最大，此时OE= $\text{[math]}$ AB=1，由勾股定理求出CE=2，OC=3，设C的坐标是（x，y），由勾股定理得：x²+y²=3²，再证明△AOB∽△BEC，△AOB∽△CEO，可得： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，再代入相应的数值可得： $\text{[math]}$ ，再结合x²+y²=3²，求出即可．
解答：

解：E为AB的中点，当O，E及C共线时，OC最大，
此时OE=BE= $\text{[math]}$ AB=1，由勾股定理得：CE= $\text{[math]}$ =2，
OC=1+2=3，
设C的坐标是（x，y），
由勾股定理得：x²+y²=3²，
∵EO=BE，
∴∠EOB=∠EBO，
∵∠CFO=∠AOB=90°，∠EOB=∠EBO，
∴△AOB∽△CFO，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴OB= $\text{[math]}$ ，
∵∠CBA=90°，CE=2，BE=1，
∴∠BCO=30°，∠CEB=60°，
∴∠AEO=∠CEB=60°，
∵AE=OE，
∴△AEO是等边三角形，
∴∠BAO=∠CEB=60°，∠CBE=∠AOB=90°，
∵△AOB∽△BEC，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴x²+（ $\text{[math]}$ ^）2=3²，
解得：x= $\text{[math]}$ ，y= $\text{[math]}$ ．
故答案为：（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
点评：本题主要考查对直角三角形斜边上的中线，勾股定理，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能根据题意求出OC的最大值是解此题的关键．