Question

如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB于点F，OF=3，CD=8，M是OC的中点，AM的延长线交⊙O于点E，DE与BC交于点N，
（1）求AB的长；
（2）求证：BN=CN．

Answer 1

解：（1）∵AB是⊙O直径，AB⊥CD，CD=8
∴CF=4
在Rt△OCF中，根据勾股定理，得
OC²=OF²+CF²
=3²+4²
=25
∴OC=5
∴AB=2OC=2×5=10；

（2）连结AC，BD
∵CD⊥AB，
∴BC=BD．
∴∠BCD=∠BDC．
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC．
∵∠BDC=∠OAC，
∴∠BCD=∠OCA．
∴△BCD∽△OCA，
∴=，
在△CDN和△CAM中，
∵∠DCN=∠ACM，∠CDN=∠CAM，
∴△CDN∽△CAM
∴=，
∴==，
∴CN=CB，即BN=CN．
分析：（1）先根据垂径定理求出CF的长，在Rt△OCF根据勾股定理可求出OC的长，故可得出AB的长；
（2）连结AC，BD，根据弦CD垂直于直径AB可知BC=BD．∠BCD=∠BDC，再由OA=OC可知∠OCA=∠OAC，由相似三角形的判定定理可知△BCD∽△OCA，所以=，同理可得△CDN∽△CAM，所以=，==，故可得出结论．
点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，涉及到相似三角形的判定与性质、垂径定理、勾股定理及圆周角定理等知识，难度适中．