Question

【题目】如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、C（3，0），点B为抛物线顶点，直线BD为抛物线的对称轴，点D在x轴上，连接AB、BC，∠ABC＝90°，AB与y轴交于点E，连接CE．

（1）求项点B的坐标并求出这条抛物线的解析式；

（2）点P为第一象限抛物线上一个动点，设△PEC的面积为S，点P的横坐标为m，求S关于m的函数关系武，并求出S的最大值；

（3）如图2，连接OB，抛物线上是否存在点Q，使直线QC与直线BC所夹锐角等于∠OBD，若存在请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）点B坐标为（1，2），y＝﹣x2+x+；（2）S＝﹣m2+2m+，S最大值；（3）点Q的坐标为（﹣，）．

【解析】

（1）先求出抛物线的对称轴，证△ABC是等腰直角三角形，由三线合一定理及直角三角形的性质可求出BD的长，即可写出点B的坐标，由待定系数法可求出抛物线解析式；

（2）求出直线AB的解析式，点E的坐标，用含m的代数式表示出点P的坐标，如图1，连接EP，OP，CP，则由S△EPC＝S△OEP+S△OCP﹣S△OCE即可求出S关于m的函数关系式，并可根据二次函数的性质写出S的最大值；

（3）先证△ODB∽△EBC，推出∠OBD＝∠ECB，延长CE，交抛物线于点Q，则此时直线QC与直线BC所夹锐角等于∠OBD，求出直线CE的解析式，求出其与抛物线交点的坐标，即为点Q的坐标．

解：（1）∵A（﹣1，0）、C（3，0），

∴AC＝4，抛物线对称轴为x＝＝1，

∵BD是抛物线的对称轴，

∴D（1，0），

∵由抛物线的对称性可知BD垂直平分AC，

∴BA＝BC，

又∵∠ABC＝90°，

∴BD＝AC＝2，

∴顶点B坐标为（1，2），

设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+2，

将A（﹣1，0）代入，

得0＝4a+2，

解得，a＝﹣，

∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+2＝﹣x2+x+；

（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，

将A（﹣1，0），B（1，2）代入，

得，

解得，k＝1，b＝1，

∴yAB＝x+1，

当x＝0时，y＝1，

∴E（0，1），

∵点P的横坐标为m，

∴点P的纵坐标为﹣m2+m+，

如图1，连接EP，OP，CP，

则S△EPC＝S△OEP+S△OCP﹣S△OCE

＝×1×m+×3（﹣m2+m+）﹣×1×3

＝﹣m2+2m+，

＝﹣（m﹣）2+，

∵﹣＜0，根据二次函数和图象及性质知，当m＝时，S有最大值；

（3）由（2）知E（0，1），

又∵A（﹣1，0），

∴OA＝OE＝1，

∴△OAE是等腰直角三角形，

∴AE＝OA＝，

又∵AB＝BC＝AB＝2，

∴BE＝AB﹣AE＝，

∴，

又∵，

∴，

又∵∠ODB＝∠EBC＝90°，

∴△ODB∽△EBC，

∴∠OBD＝∠ECB，

延长CE，交抛物线于点Q，则此时直线QC与直线BC所夹锐角等于∠OBD，

设直线CE的解析式为y＝mx+1，

将点C（3，0）代入，

得，3m+1＝0，

∴m＝﹣，

∴yCE＝﹣x+1，

联立，

解得，或，

∴点Q的坐标为（﹣，）．