Question

【题目】已知，，，点在上，作，直线交于，交延长线于，连接，，，则的长为__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

可证得A、E、D、G四点共圆，推出∠2=∠3，推出AF=FG，证得，得到HF=FC，AH=CG=2，再证得，从而得到AH=CG=CD=DH=2，利用三角形中位线定理以及，可推出，利用勾股定理求得AC的长，即可求解．

连接HC，AG，如图：

∵，，

∴∠AEG=∠ADG=90°，

∴A、E、D、G四点共圆，

∴∠1=∠2，

∵∠GFC=2∠1

∴∠GFC =2∠2，

又∵∠GFC=∠2+∠3，

∴∠2=∠3，

∴AF=FG，

∵，，

∴∠4=∠5，

∵∠4+∠B=90°，∠6+∠B=90°，

∴∠4=∠5=∠6，

在和中，

，

∴，

∴HF=FC，AH=CG=2，

∵AF=FG，

∴AF+ FC=FG+ HF，

∴AC=GH，

在和中，

，

∴，

∴CD=DH=2，

∴AH=CG=CD=DH=2，

∴点H为AD中点，点C为DG中点，

∴HC=AG，HC∥AG，
∴，

∴，由，

∴，

在中，AD=AH+DH=4，DC=2，

∴，

∴．

故答案为：．