Question

如图所示，边长为2的正三角形与边长为1的正六边形重叠，且正六边形的中心是正三角形的一个顶点，则重叠部分的面积为（　　）

• A、

  3

  6

• B、

  3

  4

• C、

  3

  3

• D、因缺少数据无法计算

Answer 1

分析：连接CI，设BC与ID的交点为M，AC与HI的交点为N，根据正六边形的中心到各顶点的距离相等可得CD=CI，再根据∠ACB=∠ICD=60°可以证明∠1=∠3，然后即可证明△CDM与△CIN全等，从而得到重叠部分的面积等于以正六边形的边长为边的等边三角形的面积，求出即可进行选择．

解答：解：如图，连接CI，设BC与ID的交点为M，AC与HI的交点为N，
根据正六边形与等边三角形的性质可得，CD=CI，
∠ICD=∠ACB=∠IDC=∠NIC=60°，
∵∠ICD=∠1+∠2，∠ACB=∠2+∠3，
∴∠1=∠3，
在△CDM和△CIN中，

∠IDC=∠NIC=60° CD=CI ∠1=∠3

，
∴△CDM≌△CIN（ASA），
∴S_△CDM=S_△CIN，
∴重叠部分的面积是以正六边形的边长为边的等边三角形的面积，
∵正六边形的边长为1，
∴底边上的高为

12-( 1 2 )2

=

3

2

，
∴面积为

1

2

×1×

3

2

=

3

4

．
故选B．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，正六边形的性质以及等边三角形的性质，证明重叠部分的面积等于以正六边形的边长为边的等边三角形的面积是解题的关键，也是本题的突破口．