Question

如图，已知点A的坐标是（－1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，连结BD，求直线BD的解析式；

Answer 1

解：(1) ∵以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，

∴∠OCA+∠OCB=90°，

又∵∠OCB+∠OBC=90°，

∴∠OCA=∠OBC，

又∵∠AOC= ∠COB=90°，

∴ΔAOC∽ ΔCOB，

∴．

又∵A(1，0)，B(9，0)，

∴，解得OC=3(负值舍去)．

∴C(0，3)，

设抛物线解析式为y=a(x+1)(x9)，

∴3=a(0+1)(09)，解得a=，

∴二次函数的解析式为y=(x+1)(x9)，即y=x²x3．

(2) ∵AB为O′的直径，且A(1，0)，B(9，0)，

∴OO′=4，O′(4，0)，

∵点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，

∴∠BCD=∠BCE=×90°=45°，

连结O′D交BC于点M，则∠BO′D=2∠BCD=2×45°=90°，OO′=4，O′D=AB=5．

∴D(4，5)．

∴设直线BD的解析式为y=kx+b（k≠0）

∴

解得

∴直线BD的解析式为y=x-9.