题目内容
（2013•石景山区一模）问题解决：已知：如图，D为AB上一动点，分别过点A、B作CA⊥AB于点A，EB⊥AB于点B，联结CD、DE．
（1）请问：点D满足什么条件时，CD+DE的值最小？
（2）若AB=8，AC=4，BE=2，设AD=x．用含x的代数式表示CD+DE的长（直接写出结果）．
拓展应用：
参考上述问题解决的方法，请构造图形，并求出代数式
| x2+1 |
| (4-x)2+4 |
分析：（1）由两点之间线段最短可知：当点D、C、E三点在一条直线上时，CD+DE的值最小；
（2）根据勾股定理计算即可；
（3）过点E作AB的平行线交CA的延长线于点F，再证明四边形AFEB是矩形，根据矩形的性质和勾股定理即可出代数式
+
的最小值．
（2）根据勾股定理计算即可；
（3）过点E作AB的平行线交CA的延长线于点F，再证明四边形AFEB是矩形，根据矩形的性质和勾股定理即可出代数式
| x2+1 |
| (4-x)2+4 |
解答：解：（1）当点D、C、E三点在一条直线上时，CD+DE的值最小，
（2）CD+DE=
+
，
（3）如图，令AB=4，AC=1，BE=2，设AD=x，则BD=4-x，
CD+DE=
+
=
+
，
∵D、C、E三点在一条直线上时，CD+DE的值最小，
∴CE的长即为
+
的最小值，
过点E作AB的平行线交CA的延长线于点F，
∵CA⊥AB于A，EB⊥AB于B，
∴AF∥BE，
∴四边形AFEB是矩形，
∴AF=BE=2，EF=AB=4，
在Rt△CFE中，∠F=90°，CF=3，
∴
+
的最小值为5．
（2）CD+DE=
| x2+16 |
| (8-x)2+4 |
（3）如图，令AB=4，AC=1，BE=2，设AD=x，则BD=4-x，
CD+DE=
| AD2+AC2 |
| BD2+BE2 |
| x2+1 |
| (4-x)2+4 |
∵D、C、E三点在一条直线上时，CD+DE的值最小，
∴CE的长即为
| x2+1 |
| (4-x)2+4 |
过点E作AB的平行线交CA的延长线于点F，
∵CA⊥AB于A，EB⊥AB于B，
∴AF∥BE，
∴四边形AFEB是矩形，
∴AF=BE=2，EF=AB=4，
在Rt△CFE中，∠F=90°，CF=3，
∴
| x2+1 |
| (4-x)2+4 |
点评：本题考查了两点之间线段最短的公理以及勾股定理的运用和矩形的判定及其性质，题目的综合性较强，难度中等．
练习册系列答案
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