Question

已知等腰三角形ABC的两个顶点分别是A(0，1)、B(0，3)，第三个顶点C在x轴的正半轴上．关于y轴对称的抛物线y＝ax²＋bx＋c经过A、D(3，－2)、P三点，且点P关于直线AC的对称点在x轴上．

(1)求直线BC的解析式；

(2)求抛物线y＝ax²＋bx＋c的解析式及点P的坐标；

(3)设M是y轴上的一个动点，求PM＋CM的取值范围．

Answer 1

解：(1)∵A(0，1)，B(0，3)，∴AB=2．

∵△ABC是等腰三角形，且点C在轴的正半轴上，

∴AC=AB=2．∴OC=.∴C(，0)．

设直线BC的解析式为，∴．

∴直线BC的解析式为．

(2)∵抛物线关于轴对称，∴b=0．

又抛物线经过A(0，1)，D(3，一2)两点．

∴，解得，∴抛物线的解析式是．

在Rt △AOC中，OA=1，AC=2，易得∠ACD=30°．

在Rt△BOC中，OB=3，OC=，易得∠BCO=60°．

∴CA是∠BCO的角平分线．∴直线BC与轴关于直线AC对称．

点P关于直线AC的对称点在轴上，

则符合条件的点P就是直线BC与抛物线的交点．

∵点P在直线BC：上，故设点P的坐标是(，一+3)．

又点P(，一+3)在抛物线上．

∴一+3=，解得₁=，₂=2。

故所求点P的坐标是P₁(，0)，P₂(2，一3)．

(3)要求PM+CM的取值范围，可先求PM+CM的最小值．

I)当点P的坐标是(，0)时，点P与点C重合，故PM+CM=2CM．

显然CM的最小值就是点C到轴的距离为．∵点M是轴上的动点，

∴PM+CM无最大值，∴PM+CM≥2 

Ⅱ)当点P的坐标是(2，一3)时，由点C关于轴的对称点C’(一，0)，

故只要求PM+MC’的最小值，显然线段PC’最短，易求得PC’=6．

∴PM+CM的最小值是6．同理PM+CM没有最大值，

∴PM+CM的取值范围是PM+CM≥6．

综上所述，当点P的坐标是(，0)时，PM+CM≥2，

当点P的坐标是(2，一3)时，PM+CM≥6．