Question

在平面直角坐标系xOy中，已知 A(-2，0)，B(2，0)，AC⊥AB于点A，AC=2，BD⊥AB于点B，BD=6，以AB为直径的半圆O上有一动点P（不与A、B两点重合），连接PD、PC，我们把由五条线段AB、BD、DP、PC、CA所组成的封闭图形ABDPC叫做点P的关联图形，如图1所示.

（1）如图2，当P运动到半圆O与y轴的交点位置时，求点P的关联图形的面积.

（2）如图3，连接CD、OC、OD,判断△OCD的形状，并加以证明.

（3）当点P运动到什么位置时，点P的关联图形的面积最大，简要说明理由，并求面积的最大值.

 

Answer 1

解：（1）∵A(-2，0)，∴OA=2,

∵P是半圆O上的动点，P在y轴上，

∴OP=2, ∠AOP=90°，∵AC=2，∴四边形AOPC是正方形，

∴正方形的面积是4，

又∵BD⊥AB，BD=6，

∴梯形OPDB的面积=,

∴点P的关联图形的面积是12.  

（2）判断△OCD是直角三角形.

证明：延长CP交BD于点F.则四边形ACFB为矩形，

∴CF=DF=4，∠DCF=45°，

又∵四边形AOPC是正方形，∴∠OCP=45°，

∴∠OCD=90°，∴OC⊥CD.

∴△OCD是直角三角形…

（3）连接OC交半圆O于点P，则点P记为所确定的点的位置.  

理由如下：连接CD，梯形ACDB的面积=为定值，

要使点P的关联图形的面积最大，就要使△PCD的面积最小，∵CD为定长，∴P到CD的距离就要最小.

连接OC，设交半圆O于点P，∵AC⊥OA，AC=OA, ∴∠AOC=45°，过C作CF⊥BD于F，则ACFB为矩形，∴CF=DF=4, ∠DCF=45°，∴OC⊥CD,OC=2,∴PC在半圆外，设在半圆O上的任意一点P^‘到CD的距离为P^‘H,则P^‘H+P^‘O>OH>OC, ∵OC=PC+OP, ∴P^′H> PC,

∴当点P运动到半圆O与OC的交点位置时，点P的关联图形的面积最大.  

∵CD=4,CP=2-2, ∴△PCD的面积=，

又∵梯形ACDB的面积=，

∴点P的关联图形的最大面积是梯形ACDB的面积-△PCD的面积=16-（8-4）=8+4.