Question

如图，半圆O的直径AB=20．将半圆O绕着点B顺时针旋转54°得到半圆O′，弧A′B交AB于点P．
（1）求AP的长；
（2）求图中阴影部分的面积（结果精确到0.1）．
（参考数据：sin54°=0.81，cos54°=0.59，tan54°=1.38，π=3.14．）

Answer 1

分析：（1）此题要作辅助线，连接A'P，据题中所给的条件，在直角三角形中解题，根据角的余弦值与三角形边的关系，代入三角函数进行求解，可求出边AP的长．
（2）作O'E⊥PB于点E，连接O'P，同样直角三角形中解题，根据角的正弦值与三角形边的关系，求出边O'E，根据几何关系及扇形面积公式，可求阴影部分的面积．

解答：解：（1）连接A'P．
∵A'B为直径，
∴∠A'PB=90度，
在Rt△A'PB中，A'B=AB=20，∠A'BP=54°，
∴BP=A'Bcos∠A'BP=20cos54°=11.8，
∴AP=AB-BP=8.2；

（2）作O'E⊥PB于点E，连接O'P．
在Rt△O'EB中，O′B=

20

2

=10，∠O'BE=54°，
∴O'E=O'Bsin∠O'BE=10sin54°=8.1，
∵∠O'BP=∠O'PB=54°，
∴∠BO'P=72°，
S_△O′PB=

1

2

BP•O′E=

1

2

×11.8×8.1，
S_扇形=

72π×102

360

，
S_弓形=S_扇形-S_△O′PB，S_阴影=S_半圆-（S_扇形-S_△O′PB）=

1

2

π×100+

1

2

×11.8×8.1-

72π×102

360

≈142.0．

点评：本题利用了锐角三角函数的概念，等腰三角形的性质，垂径定理，扇形的面积公式，三角形的面积公式，圆面积公式求解．