Question

如图1，△ABC中，AB=AC=6，点D为边BC上一点，且BD=5，CD=4
（I）求证：∠ADB=2∠B；
（2）如图2，将△ABD沿AD翻折得到△AB′D，连接CB′，求CB′的长，

Answer 1

（1）证明：如图1．
∵BD=5，CD=4，
∴BC=9，
又∵AB=AC=6，
∴==，
而∠C=∠C，
∴△CAD∽△CBA，
∴=，
∴AD=DC，
∴∠C=∠CAD，
∴∠ADB=∠C+∠CAD=2∠C，
而AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ADB=2∠B；

（2）解：如图2．
∵AB=AC，
∴∠ACD=∠B，
∵将△ABD沿AD翻折得到△AB′D，
∴∠B=∠AB′D，
∴∠ACD=∠AB′D，
∴∠B′AC=∠B′DC=x．
在△AB′C中，B′C²=AC²﹢AB′²-2AC•AB′cosx=36﹢36-72cosx=72-72cosx，
在△DB′C中，B′C²=DC²﹢DB′²-2DC•DB′cosx=16﹢25-40cosx=41-40cosx，
∴72-72cosx=41-40cosx，
∴cosx=，
∴B′C²=41-40×=，
∴CB′=．
分析：（1）先由“两边及夹角法”证得△CAD∽△CBA，则该相似三角形的对应边成比例：=，再结合已知条件得到AD=DC，所以∠C=∠CAD，然后根据三角形外角的性质得出∠ADB=∠C+∠CAD=2∠C=2∠B，即∠ADB=2∠B；
（2）先由等腰三角形及折叠的性质得出∠ACD=∠AB′D，根据三角形内角和定理得到∠B′AC=∠B′DC=x．然后在△AB′C与△DB′C中，利用余弦定理得出B′C2=72-72cosx，B′C2=41-40cosx，解方程即可求解．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理及外角的性质，等腰三角形、轴对称的性质，余弦定理等知识，综合性较强，有一定难度．