Question

【题目】△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α(0°＜α≤90°)，点F，G，P分别是DE，BC，CD的中点，连接PF，PG．

（1）如图①，α=90°，点D在AB上，则∠FPG= °；

（2）如图②，α=60°，点D不在AB上，判断∠FPG的度数，并证明你的结论；

（3）连接FG，若AB=5，AD=2，固定△ABC，将△ADE绕点A旋转，当PF的长最大时，FG的长为 （用含α的式子表示）．

Answer 1

【答案】（1）90°；（2）120°，证明见解析；（3）．

【解析】

（1）由AB=AC、AD=AE，得BD=CE，再根据G、P、F分别是BC、CD、DE的中点，可得出PG∥BD，PF∥CE．则∠GPF=180°﹣∠α=90°；

（2）连接BD，连接CE，由已知可证明△ABD≌△ACE，则∠ABD=∠ACE．因为G、P、F分别是BC、CD、DE的中点，则PG∥BD，PF∥CE．进而得出∠GPF=180°﹣∠α=120°；

（3）当D在BA的延长线上时，CE=BD最长，此时BD=AB+AD=5+2=7，再由三角形中位线定理即可算出PG=3．5，在Rt△GPH中，由三角函数的定义即可求出GH，进一步求出FG．

解：（1）∵AB=AC、AD=AE，∴BD=CE，

∵G、P、F分别是BC、CD、DE的中点，

∴PG∥BD，PF∥CE．∴∠ADC=∠DPG，∠DPF=∠ACD，

∠GPF=∠DPF+∠DPG=∠ADC+∠ACD=180°﹣∠BAC=180°﹣∠α=90°，

即∠GPF=90°；

故答案为：90；

（2）∠FPG=120°；

理由：连接BD，连接CE．

∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，

∵G、P、F分别是BC、CD、DE的中点，

∴PG∥BD，PF∥CE．∴∠PGC=∠CBD，

∠DPF=∠DCE=∠DCA+∠ACE=∠DCA+∠ABD，

∠DPG=∠PGC+∠BCD=∠CBD+∠BCD，

∠GPF=∠DPF+∠DPG=∠DCA+∠ABD+∠CBD+∠BCD=180°﹣∠BAC=180°﹣∠α=120°，即∠GPF==120°；

（3）连结BD，CE，过P作PH⊥FG于H，

由（2）可知，△ABD≌△ACE，∴BD=CE，且PG=PF=BD，当D在BA的延长线上时，CE最长，即BD最长，此时BD=AB+AD=5+2=7，

∴PG=3.5，∵PF=PG，PH⊥FG，

∴∠GPH=∠FPG=（180°﹣∠α）=90°﹣α，FG=2HG，

∴FG=2HG=2PGsin∠GPH=2×3.5×=．

故答案为：．