题目内容
将抛物线c1：y=-| 3 |
| 3 |
（1）请直接写出抛物线c2的表达式；
（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D，E．
①用含m的代数式表示点A和点E的坐标；
②在平移过程中，是否存在以点A，M，E为顶点的三角形是直角三角形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．
分析：（1）根据关于x轴对称点的特点即可得到抛物线c2的表达式；
（2）①由平移规律得到抛物线c1向左平移m个单位长度的解析式，抛物线c2向右也平移m个单位长度的解析式，分别令y=0求出x的值，即可表示出A与E的坐标；
②假设在平移过程中，存在以点A，M，E为顶点的三角形是直角三角形，由题意得只能是∠AME=90°，过点M作MG⊥x轴于点G，由平移得到点M的坐标，确定出G的坐标，进而得到AG，MG，EG的长，在直角三角形AMG中，利用锐角三角函数定义表示出tan∠MAG的值，利用特殊角的三角函数值求出∠MAG的度数为60°，得到∠MEA的度数为30°，在直角三角形MEG中，利用锐角三角函数定义表示出tan∠MEG的值，由MG的长及特殊角的三角函数值求出EG的长，即可确定出此时m的值．
（2）①由平移规律得到抛物线c1向左平移m个单位长度的解析式，抛物线c2向右也平移m个单位长度的解析式，分别令y=0求出x的值，即可表示出A与E的坐标；
②假设在平移过程中，存在以点A，M，E为顶点的三角形是直角三角形，由题意得只能是∠AME=90°，过点M作MG⊥x轴于点G，由平移得到点M的坐标，确定出G的坐标，进而得到AG，MG，EG的长，在直角三角形AMG中，利用锐角三角函数定义表示出tan∠MAG的值，利用特殊角的三角函数值求出∠MAG的度数为60°，得到∠MEA的度数为30°，在直角三角形MEG中，利用锐角三角函数定义表示出tan∠MEG的值，由MG的长及特殊角的三角函数值求出EG的长，即可确定出此时m的值．
解答：
解：（1）抛物线c2的表达式是y=
x2-
；
（2）①抛物线c1向左平移m个单位长度，
得到解析式为y=-
（x+m）2+
，
令y=0，得到-
（x+m）2+
=0，
解得：x=1-m或x=-1-m，
∴点A的坐标是（-1-m，0），
抛物线c2向右也平移m个单位长度，得到y=
（x-m）2-
，
令y=0，得到
（x-m）2-
=0，
解得：x=m+1或x=m-1，
∴点E的坐标是（1+m，0）；
②假设在平移过程中，存在以点A，M，E为顶点的三角形是直角三角形，
由题意得只能是∠AME=90°，过点M作MG⊥x轴于点G，
由平移得：点M的坐标是（-m，
），
∴点G的坐标是（-m，0），
∴GA=1，MG=
，EG=2m+1，
在Rt△AGM中，∵tan∠MAG=
=
，
∴∠MAG=60°，
∵∠AME=90°，∴∠MEA=30°，
∴tan∠MEG=
=
，
∴
=
，
∴m=1，
则在平移过程中，当m=1时，存在以点A，M，E为顶点的三角形是直角三角形．
解：（1）抛物线c2的表达式是y=| 3 |
| 3 |
（2）①抛物线c1向左平移m个单位长度，
得到解析式为y=-
| 3 |
| 3 |
令y=0，得到-
| 3 |
| 3 |
解得：x=1-m或x=-1-m，
∴点A的坐标是（-1-m，0），
抛物线c2向右也平移m个单位长度，得到y=
| 3 |
| 3 |
令y=0，得到
| 3 |
| 3 |
解得：x=m+1或x=m-1，
∴点E的坐标是（1+m，0）；
②假设在平移过程中，存在以点A，M，E为顶点的三角形是直角三角形，
由题意得只能是∠AME=90°，过点M作MG⊥x轴于点G，
由平移得：点M的坐标是（-m，
| 3 |
∴点G的坐标是（-m，0），
∴GA=1，MG=
| 3 |
在Rt△AGM中，∵tan∠MAG=
| MG |
| AG |
| 3 |
∴∠MAG=60°，
∵∠AME=90°，∴∠MEA=30°，
∴tan∠MEG=
| MG |
| EG |
| ||
| 3 |
∴
| ||
| 2m+1 |
| ||
| 3 |
∴m=1，
则在平移过程中，当m=1时，存在以点A，M，E为顶点的三角形是直角三角形．
点评：此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：对称的性质，平移规律，坐标与图形性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，熟练掌握对称性质及平移规律是解本题的关键．
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