Question

（2012•和平区一模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线C1：y=x2，点A（2，4）．
（Ⅰ）求直线OA的解析式；
（Ⅱ）直线x=2与x轴相交于点B，将抛物线C₁从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M到A点时停止移动，设抛物线顶点M的横坐标为m．
①当m为何值时，线段PB最短？
②当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使△QMA的面积与△PMA的面积相等？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）将抛物线C₁作适当的平移，得抛物线C2：y=x2-x+c，若点D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）在抛物线C₂上，且D、E两点关于坐标原点成中心对称，求c的取值范围．

Answer 1

分析：（I）直线OA的解析式为y=kx，把点A（2，4）代入即可求出k的值，进而得出直线的解析式；
（II）①由顶点M的横坐标为m，且在线段OA上移动可得出y与m的函数关系式，故可得出抛物线的解析式，当x=2时可得出y与m的函数关系式，进而可得出P点坐标，由m的取值范围即可得出结论；
②当线段PB最短时，抛物线的解析式为y=x²-2x+3，点P的坐标是（2，3）．假设在抛物线上存在点Q，使S_△QMA=S_△PMA，当点Q落在直线OA的下方时，过点P作直线PC∥AO交y轴于点C．PB=3，BA=4，可知直线PC的解析式为y=2x-1，联立直线与抛物线的解析式即可求出Q点的坐标；当点Q落在直线OA的上方时，作点P关于点A的对称点D，过点D作直线DE∥AO，交y轴于点E，同理可得直线DE的解析式，立直线与抛物线的解析式即可求出Q点的坐标；
（III）由点D、E关于原点成中心对称，可知x₂=-x₁，y₂=-y₁，再由D、E两点在抛物线C₂上，可得出y与x的关系式，联立直线DE与抛物线的解析式即可得出x²+c=0，点D、E在抛物线C₂上，即抛物线C₂与直线DE有两个公共点，

解答：解：（Ⅰ）设直线OA的解析式为y=kx，
∵A（2，4），
∴2k=4．
∴k=2．
∴直线OA的解析式为y=2x．                     

（Ⅱ）①∵顶点M的横坐标为m，且在线段OA上移动，
∴y=2m（0≤m≤2）．
∴顶点M的坐标为（m，2m）．
∴抛物线的解析式为y=（x-m）²+2m．
当x=2时，y=（2-m）²+2m=m²-2m+4（0≤m≤2）．
∴点P的坐标是（2，m²-2m+4）．
∵PB=m²-2m+4=（m-1）²+3，
又∵0≤m≤2，
∴当m=1时，线段PB最短．                    
②当线段PB最短时，抛物线的解析式为y=x²-2x+3，点P的坐标是（2，3）．
假设在抛物线上存在点Q，使S_△QMA=S_△PMA．
当点Q落在直线OA的下方时，过点P作直线PC∥AO交y轴于点C．
∵PB=3，BA=4，
∴AP=1．
∴直线PC的解析式为y=2x-1．
根据题意，列出方程组

y=2x-1 y=x2-2x+3.

∴x²-2x+3=2x-1．
解得x₁=2，x₂=2．
∴

x=2 y=3.

即点Q的坐标是（2，3）．
∴点Q与点P重合．
∴此时抛物线上不存在点Q使△QMA与△PMA的面积相等．
当点Q落在直线OA的上方时，作点P关于点A的对称点D，过点D作直线DE∥AO，交y轴于点E，
∵AP=1，
∴DA=1．
∴直线DE的解析式为y=2x+1．
根据题意，列出方程组

y=2x+1 y=x2-2x+3.

∴x²-2x+3=2x+1．
解得x1=2+

2

，x2=2-

2

．
∴

x1=2+ 2 y1=5+2 2

或

x2=2- 2 y2=5-2 2 .

∴此时抛物线上存在点Q₁（2+

2

，5+2

2

），Q₂（2-

2

，5-2

2

），使△QMA与△PMA的面积相等．
综上所述，抛物线上存在点Q₁（2+

2

，5+2

2

），Q₂（2-

2

，5-2

2

），使△QMA与△PMA的面积相等．                

（Ⅲ）∵点D、E关于原点成中心对称，
∴x₂=-x₁，y₂=-y₁①
∵D、E两点在抛物线C₂上，
∴y1=

x

2 1

-x1+c，②y2=

x

2 2

-x2+c．③
把①代入③，得-y1=

x

2 1

+x1+c．④
②-④得2y₁=-2x₁．
∴y₁=-x₁．
设直线DE的解析式为y=k′x，
由题意，x₁≠0，
∴k′=-1．
∴直线DE的解析式为y=-x．
根据题意，列出方程组

y=-x y=x2-x+c.

则有x²+c=0，即x²=-c．
∵点D、E在抛物线C₂上，即抛物线C₂与直线DE有两个公共点，
∴-c＞0，即c＜0．
∴c的取值范围是c＜0．

点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、一元二次方程根的判别式等知识，难度较大．