Question

【题目】阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，BE是AC边上的中线，点D在BC边上，，AD与BE相交于点P，求的值．

小昊发现，过点C作CF∥AD，交BE的延长线于点F，通过构造△CEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．

请回答：写出的值．

参考小昊思考问题的方法，解决问题：

（1）如图3，在△ABC中，点D在BC的延长线上，，点E在AC上，且．求的值；

（2）如图4，在△ABC中，点D在BC的延长线上，，点E在AC上，且，直接写出的值．

Answer 1

【答案】；（1）；（2）

【解析】

如图2，过点C作CF∥AD，交BE的延长线于点F，易证△AEP≌△CEF，根据全等三角形的性质可得AP=FC，又因PD∥FC，可得△BDP∽△BCF，由相似三角形的性质可得，由此即可求得的值．（1）如图3，过A作AF∥BC，交BP延长线于点F，可得△AFE∽△CBE，根据相似三角形的性质可得,设AF＝3x，BC＝2x，由可得BD＝3x，所以AF＝BD＝3x，再证明△AFP∽△DBP，即可得；（3）如图4，过C作CF∥AP交PB于F，可得△BCF∽△BDP，根据相似三角形的性质可得，设CF＝2x，PD＝3x，再证明△ECF∽△EAP，可得，所以AP＝7x，AD＝4x，即可求得．

解：如图2，过点C作CF∥AD，交BE的延长线于点F，

∴∠F＝∠APF，∠FCE＝∠EAP，

∵BE为AC边的中线，

∴AE＝CE，

∴△AEP≌△CEF，

∴AP＝FC，

∵PD∥FC，

∴△BPD≌△BFC，

∴＝，

∴＝，

（1）如图3，过A作AF∥BC，交BP延长线于点F，

∴△AFE∽△CBE，

∴，

∵，

∴，

设AF＝3x，BC＝2x，

∵，

∴BD＝3x，

∴AF＝BD＝3x，

∵AF∥BD，

∴△AFP∽△DBP，

∴＝＝1；

（2）如图4，过C作CF∥AP交PB于F，

∴△BCF∽△BDP，

∴，

设CF＝2x，PD＝3x，

∵CF∥AP，

∴△ECF∽△EAP，

∴，

∴AP＝7x，AD＝4x，

∴．