Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形．
（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ=60°保持不变．设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式；
（3）在（2）中：
①当动点P、Q运动到何处时，以点P、M和点A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数；
②当y取最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）需证△AMB≌△DMC，可得AB=DC，可得梯形ABCD是等腰梯形；
（2）可证△BPM∽△CQP，

PC

BM

=

CQ

BP

，PC=x，MQ=y，BP=4-x，QC=4-y，

x

4

=

4-y

4-x

，即可得出y=

1

4

x2-x+4；
（3）应考虑四边形ABPM和四边形MBPD均为平行四边形，四边形MPCD和四边形APCM均为平行四边形时的情况；由（2）中的函数关系，可得当y取最小值时，x=PC=2，P是BC的中点，MP⊥BC，而∠MPQ=60°，∠CPQ=30°，∠PQC=90°．

解答：（1）证明：∵△MBC是等边三角形，
∴MB=MC，∠MBC=∠MCB=60°．（1分）
∵M是AD中点，
∴AM=MD．
∵AD∥BC，
∴∠AMB=∠MBC=60°，∠DMC=∠MCB=60°．
∴△AMB≌△DMC．（2分）
∴AB=DC．
∴梯形ABCD是等腰梯形．（3分）

（2）解：在等边△MBC中，MB=MC=BC=4，∠MBC=∠MCB=60°，∠MPQ=60°，
∴∠BMP+∠BPM=∠BPM+∠QPC=120°．
∴∠BMP=∠QPC．（4分）
∴△BPM∽△CQP．
∴

PC

BM

=

CQ

BP

．（5分）
∵PC=x，MQ=y，
∴BP=4-x，QC=4-y．（6分）
∴

x

4

=

4-y

4-x

．
∴y=

1

4

x2-x+4．（7分）


（3）解：①当BP=1时，则有BP

∥ .

.

AM，BP

∥ .

.

MD，
则四边形ABPM为平行四边形，
∴MQ=y=

1

4

×3²-3+4=

13

4

．（8分）
当BP=3时，则有PC

∥ .

.

AM，PC

∥ .

.

MD，
则四边形MPCD为平行四边形，
∴MQ=y=

1

4

×1²-1+4=

13

4

．（9分）
∴当BP=1，MQ=

13

4

或BP=3，MQ=

13

4

时，
以P、M和A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形．此时平行四边形有2个．（10分）
②△PQC为直角三角形．（11分）
∵y=

1

4

（x-2）²+3，
∴当y取最小值时，x=PC=2．（12分）
∴P是BC的中点，MP⊥BC，而∠MPQ=60°，
∴∠CPQ=30°，
∴∠PQC=90°．
∴△PQC是直角三角形．（13分）

点评：本题考查平行四边形、直角三角形和等腰梯形的判定以及相似三角形的判定和性质的应用．