Question

【题目】如图，已知抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC．

（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）若点P为线段BC上一点（不与B，C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求△BPN的周长；
（3）在（2）的条件下，当△BCM的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得△CNQ为直角三角形，求点Q的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：由抛物线的解析式y=﹣x2+2x+3，

∴C（0，3），

令y=0，﹣x2+2x+3=0，解得x=3或x=﹣1；

∴A（﹣1，0），B（3，0）．

（2）解：设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：

，解得 ，

∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3．

设P（x，﹣x+3），则M（x，﹣x2+2x+3），

∴PM=（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x．

∴S△BCM=S△PMC+S△PMB= PM（xP﹣xC）+ PM（xB﹣xP）= PM（xB﹣xC）= PM．

∴S△BCM= （﹣x2+3x）=﹣ （x﹣ ）2+ ．

∴当x= 时，△BCM的面积最大．

此时P（ ， ），∴PN=ON= ，

∴BN=OB﹣ON=3﹣ = ．

在Rt△BPN中，由勾股定理得：PB= ．

C△BCN=BN+PN+PB=3+ ．

∴当△BCM的面积最大时，△BPN的周长为3+

（3）解：∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4

∴抛物线的对称轴为直线x=1．

在Rt△CNO中，OC=3，ON= ，由勾股定理得：CN= ．

设点D为CN中点，则D（ ， ），CD=ND= ．

如解答图，△CNQ为直角三角形，

①若点Q为直角顶点．

作Rt△CNO的外接圆⊙D，与对称轴交于Q1、Q2两点，由圆周角定理可知，Q1、Q2两点符合题意．

连接Q1D，则Q1D=CD=ND= ．

过点D（ ， ）作对称轴的垂线，垂足为E，

则E（1， ），Q1E=Q2E，DE=1﹣ = ．

在Rt△Q1DE中，由勾股定理得：

Q1E= = ．

∴Q1（1， ），Q2（1， ）；

②若点N为直角顶点．

过点N作NF⊥CN，交对称轴于点Q3，交y轴于点F．

易证Rt△NFO∽Rt△CNO，则 = ，即 ，解得OF= ．

∴F（0，﹣ ），又∵N（ ，0），

∴可求得直线FN的解析式为：y= x﹣ ．

当x=1时，y=﹣ ，

∴Q3（1，﹣ ）；

③当点C为直角顶点时．

过点C作Q4C⊥CN，交对称轴于点Q4．

∵Q4C∥FN，∴可设直线Q4C的解析式为：y= x+b，

∵点C（0，3）在该直线上，∴b=3．

∴直线Q4C的解析式为：y= x+3，

当x=1时，y= ，

∴Q4（1， ）．

综上所述，满足条件的点Q有4个，

其坐标分别为：Q1（1， ），Q2（1， ），Q3（1，﹣ ），Q4（1， ）．

【解析】（1）根据函数解析式由x=0求出点C的坐标，由y=0,求出点A、B的坐标。
（2）先求出直线BC的函数解析式，抓住PM∥y轴，设出点P、M的坐标（点P、M的横坐标相同），就可以求出S△BCM与x的函数解析式，即可求出点P的坐标，再求出PN、BP、BN的长，即可求出△BPN的周长。
（3）在Rt△CON中，利用勾股定理可求出CN的长，再求出CN的中点D的坐标，然后分类讨论：①若点Q为直角顶点．②若点N为直角顶点．③当点C为直角顶点时．运用勾股定理、相似三角形的性质和判定、一次函数等相关知识进行解答。